直線 $y = 2x + 10$ と直交する直線を $l$ とするとき、$y = 2x + 10$ と直線 $l$ と $x$ 軸で囲まれた三角形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + 10$ と直交する直線を $l$ とするとき、$y = 2x + 10$ と直線 $l$ と $x$ 軸で囲まれた三角形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x + 10$ と直交する直線 $l$ の傾きを求める。$y = 2x + 10$ の傾きは2なので、直線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。

(2) 直線 $l$ の式を $y = -\frac{1}{2}x + b$ とおく。直線 $l$ と $y = 2x + 10$ の交点を求めるために、連立方程式を解く。

$y = 2x + 10$

$y = -\frac{1}{2}x + b$

$2x + 10 = -\frac{1}{2}x + b$

$\frac{5}{2}x = b - 10$

$x = \frac{2}{5}(b - 10)$

$y = 2\left(\frac{2}{5}(b - 10)\right) + 10 = \frac{4}{5}(b - 10) + 10 = \frac{4}{5}b - 8 + 10 = \frac{4}{5}b + 2$

交点の座標は $\left(\frac{2}{5}(b - 10), \frac{4}{5}b + 2\right)$ である。

問題文には「直線lを1とする。このとき関数y=2x+10と直線lとx軸で囲まれた」としか書かれていないため、直線lがy=2x+10と直交するという条件だけでは直線lが一つに決まらない。問題文に直線lがy=2x+10と直交する「かつ」、何らかの条件を満たす、と書いていれば、直線lを一つに決めることが可能である。

例えば、直線 $l$ が原点を通ると仮定すると、$b=0$ となり、直線 $l$ の式は $y = -\frac{1}{2}x$ となる。このとき、$y = 2x + 10$ と $y = -\frac{1}{2}x$ の交点を求める。

$2x + 10 = -\frac{1}{2}x$

$\frac{5}{2}x = -10$

$x = -4$

$y = 2(-4) + 10 = 2$

交点は $(-4, 2)$ となる。

(3) $y = 2x + 10$ と $x$ 軸との交点を求める。$y = 0$ とすると、$2x + 10 = 0$ より $x = -5$。交点は $(-5, 0)$。

$y = -\frac{1}{2}x$ と $x$ 軸との交点を求める。$y = 0$ とすると、$x = 0$。交点は $(0, 0)$。

(4) 三角形の頂点は $(-5, 0)$, $(0, 0)$, $(-4, 2)$ である。

底辺を $x$ 軸上の $(-5, 0)$ から $(0, 0)$ までの距離とすると、底辺の長さは $5$。

高さは点 $(-4, 2)$ の $y$ 座標の絶対値なので $2$。

面積 $S = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5$。

しかし、これは直線lが原点を通るという仮定のもとでの計算である。

仮に直線 $l$ が点 $(0,10)$ を通ると仮定すると、$b=10$ となり、直線 $l$ の式は $y = -\frac{1}{2}x + 10$ となる。

このとき、$y = 2x + 10$ と $y = -\frac{1}{2}x + 10$ の交点を求める。

$2x + 10 = -\frac{1}{2}x + 10$

$\frac{5}{2}x = 0$

$x = 0$

$y = 10$

交点は $(0, 10)$ となる。

$y = -\frac{1}{2}x + 10$ と $x$ 軸との交点を求める。$y = 0$ とすると、$0 = -\frac{1}{2}x + 10$ より $\frac{1}{2}x = 10$, $x = 20$。交点は $(20, 0)$。

三角形の頂点は $(-5, 0)$, $(20, 0)$, $(0, 10)$ である。

底辺を $x$ 軸上の $(-5, 0)$ から $(20, 0)$ までの距離とすると、底辺の長さは $25$。

高さは点 $(0, 10)$ の $y$ 座標なので $10$。

面積 $S = \frac{1}{2} \times 25 \times 10 = 125$。

このように直線lを決める条件によって面積が変わってくる。

3. 最終的な答え

問題文の条件だけでは面積は一意に定まらない。

もし、直線 $l$ が原点を通るならば、三角形の面積は $5$ である。