円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 3$, $BC = 1$, $CD = 3$, $DA = 4$であるとき、$\angle BAD$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 3$, $BC = 1$, $CD = 3$, $DA = 4$であるとき、$\angle BAD$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD$ が成り立ちます。

$\angle BAD = \theta$ とおくと、$\angle BCD = 180^{\circ} - \theta$となります。

三角形ABDと三角形BCDについて、余弦定理を用いてBDの長さを求めます。

三角形ABDにおいて、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\theta}$

$BD^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos{\theta}$

$BD^2 = 9 + 16 - 24 \cos{\theta}$

$BD^2 = 25 - 24 \cos{\theta}$

三角形BCDにおいて、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{(180^{\circ} - \theta)}$

$BD^2 = 1^2 + 3^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot \cos{(180^{\circ} - \theta)}$

$BD^2 = 1 + 9 - 6 \cos{(180^{\circ} - \theta)}$

$BD^2 = 10 - 6 \cos{(180^{\circ} - \theta)}$

$\cos{(180^{\circ} - \theta)} = -\cos{\theta}$ であるので、

$BD^2 = 10 + 6 \cos{\theta}$

したがって、

$25 - 24 \cos{\theta} = 10 + 6 \cos{\theta}$

$15 = 30 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

$\theta = 60^{\circ}$

3. 最終的な答え

$\angle BAD = 60^{\circ}$