座標平面上に3点O(0,0), A(4,3), B(1, $2\sqrt{2}$) が与えられている。$\angle AOB$ の二等分線が線分ABと交わる点Cの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

座標平面上に3点O(0,0), A(4,3), B(1, $2\sqrt{2}$) が与えられている。$\angle AOB$ の二等分線が線分ABと交わる点Cの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\angle AOB$ の二等分線は、線分ABをOA:OBに内分する。

まず、OAとOBの長さを計算します。

$OA = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

$OB = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$

したがって、点Cは線分ABを5:3に内分する点である。

点Cの座標を(x, y)とすると、内分点の公式より、

$x = \frac{3 \cdot 4 + 5 \cdot 1}{5+3} = \frac{12+5}{8} = \frac{17}{8}$

$y = \frac{3 \cdot 3 + 5 \cdot 2\sqrt{2}}{5+3} = \frac{9 + 10\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

点Cの座標は$(\frac{17}{8}, \frac{9+10\sqrt{2}}{8})$