3点A(1,1), B(2,-1), C(3,6)について、$AQ^2 + BQ^2 + CQ^2$の最小値とその時の点Qの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

3点A(1,1), B(2,-1), C(3,6)について、$AQ^2 + BQ^2 + CQ^2$の最小値とその時の点Qの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Qの座標を(x, y)とします。

$AQ^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2$

$BQ^2 = (x-2)^2 + (y+1)^2$

$CQ^2 = (x-3)^2 + (y-6)^2$

$f(x,y) = AQ^2 + BQ^2 + CQ^2$と置くと、

$f(x,y) = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (x-2)^2 + (y+1)^2 + (x-3)^2 + (y-6)^2$

$= x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 + x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36$

$= 3x^2 - 12x + 3y^2 - 12y + 52$

$= 3(x^2 - 4x) + 3(y^2 - 4y) + 52$

$= 3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3(y^2 - 4y + 4 - 4) + 52$

$= 3(x-2)^2 - 12 + 3(y-2)^2 - 12 + 52$

$= 3(x-2)^2 + 3(y-2)^2 + 28$

$f(x,y)$が最小となるのは、$x=2, y=2$のときです。

最小値は、$f(2,2) = 3(2-2)^2 + 3(2-2)^2 + 28 = 28$

3. 最終的な答え

最小値：28

Qの座標：(2,2)