$\cos^2 A = \frac{1}{3}$ であり、$\tan A > 0$ のとき、$\tan A$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos^2 A = \frac{1}{3}$ であり、$\tan A > 0$ のとき、$\tan A$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ という三角関数の基本公式を利用します。

$\cos^2 A = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 A + \frac{1}{3} = 1$

$\sin^2 A = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、$\sin A = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ となります。

次に、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ であることを利用します。

$\tan A > 0$ であることから、$\sin A$ と $\cos A$ は同符号でなければなりません。

$\cos^2 A = \frac{1}{3}$ より、$\cos A = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

$\tan A > 0$ なので、$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ のとき $\cos A = \frac{1}{\sqrt{3}}$、または $\sin A = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ のとき $\cos A = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

どちらの場合も、$\tan A$ は正の値となります。

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{\pm \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\tan A = \sqrt{2}$