円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=3$, $CD=3$, $\angle B = 60^\circ$ とする。このとき、$AC$, $\angle D$, $AD$, 四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=3$, $CD=3$, $\angle B = 60^\circ$ とする。このとき、$AC$, $\angle D$, $AD$, 四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$において余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

$AC^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$AC = \sqrt{13}$

次に、円に内接する四角形の対角の和は$180^\circ$なので、$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

次に、$\triangle ACD$において余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos D$

$13 = AD^2 + 3^2 - 2 \cdot AD \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ$

$13 = AD^2 + 9 - 6AD \cdot (-\frac{1}{2})$

$13 = AD^2 + 9 + 3AD$

$AD^2 + 3AD - 4 = 0$

$(AD+4)(AD-1) = 0$

$AD > 0$より、$AD = 1$

四角形ABCDの面積は、$\triangle ABC$の面積と$\triangle ACD$の面積の和である。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin D = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \sin 120^\circ = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積 = $3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$AC = \sqrt{13}$

$\angle D = 120^\circ$

$AD = 1$

四角形ABCDの面積 = $\frac{15\sqrt{3}}{4}$