問題は以下の2つです。 (3) $\sqrt{18x}$ が整数となるような最小の自然数 $x$ を求めなさい。 (4) $\sqrt{15-n}$ が整数となるような、自然数 $n$ の値をすべて求めなさい。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(3) $\sqrt{18x}$ が整数となるような最小の自然数 $x$ を求めなさい。

(4) $\sqrt{15-n}$ が整数となるような、自然数 $n$ の値をすべて求めなさい。

2. 解き方の手順

(3) $\sqrt{18x}$ が整数となる場合について考えます。

$\sqrt{18x} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot x}$ です。

$\sqrt{18x}$ が整数となるためには、根号の中が平方数になっている必要があります。

したがって、$x = 2k^2$ の形であればよいことになります。

$x$ が最小の自然数となるのは $k=1$ のときなので、$x = 2 \cdot 1^2 = 2$ です。

(4) $\sqrt{15-n}$ が整数となる場合について考えます。

$15-n \geq 0$ である必要があるので、$n \leq 15$ です。

$\sqrt{15-n} = m$ とおくと、$m$ は整数であり、$m \geq 0$ です。

両辺を2乗すると $15 - n = m^2$ となり、$n = 15 - m^2$ と表せます。

$n$ は自然数なので、$n > 0$ である必要があります。

$15 - m^2 > 0$ より、$m^2 < 15$ なので、$m$ は $0, 1, 2, 3$ のいずれかの整数です。

それぞれの $m$ に対して $n$ を求めます。

* $m = 0$ のとき、$n = 15 - 0^2 = 15$

* $m = 1$ のとき、$n = 15 - 1^2 = 14$

* $m = 2$ のとき、$n = 15 - 2^2 = 11$

* $m = 3$ のとき、$n = 15 - 3^2 = 6$

3. 最終的な答え

(3) $x = 2$

(4) $n = 6, 11, 14, 15$