ある病院で、インフルエンザワクチンの効果を調べるために調査を行った結果、ワクチン接種者100人中10人、ワクチン未接種者250人中50人がインフルエンザに罹ったことが判明した。ワクチンの効果があると言えるかを有意水準5%で検定したい。検定統計量を小数第3位まで求める。

1. 問題の内容

ある病院で、インフルエンザワクチンの効果を調べるために調査を行った結果、ワクチン接種者100人中10人、ワクチン未接種者250人中50人がインフルエンザに罹ったことが判明した。ワクチンの効果があると言えるかを有意水準5%で検定したい。検定統計量を小数第3位まで求める。

2. 解き方の手順

ワクチンの効果があるかどうかの検定を行う。

ワクチン接種群の罹患率: $p_1 = \frac{10}{100} = 0.1$

ワクチン未接種群の罹患率: $p_2 = \frac{50}{250} = 0.2$

サンプルサイズ: $n_1 = 100$, $n_2 = 250$

帰無仮説 $H_0$: ワクチンの効果がない（$p_1 = p_2$）

対立仮説 $H_1$: ワクチン接種者はインフルエンザに罹患しにくい（$p_1 < p_2$）

合同標本比率 $\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{10 + 50}{100 + 250} = \frac{60}{350} = \frac{6}{35}$

検定統計量 $z$ を計算する。

$z = \frac{p_1 - p_2}{\sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$

$z = \frac{0.1 - 0.2}{\sqrt{\frac{6}{35}(1 - \frac{6}{35})(\frac{1}{100} + \frac{1}{250})}}$

$z = \frac{-0.1}{\sqrt{\frac{6}{35} \cdot \frac{29}{35} \cdot \frac{7}{500}}}$

$z = \frac{-0.1}{\sqrt{\frac{6 \cdot 29 \cdot 7}{35 \cdot 35 \cdot 500}}}$

$z = \frac{-0.1}{\sqrt{\frac{1218}{612500}}} = \frac{-0.1}{\sqrt{0.00198852459}} \approx \frac{-0.1}{0.04459} \approx -2.243$

3. 最終的な答え

-2.243