$n$ 個の異なる色を用意し、立方体の各面をいずれかの色で塗る。各面にどの色を塗る確率も等しいとする。辺を共有するどの2つの面にも異なる色が塗られる確率を $p_n$ とする。 (1) $p_3$ を求めよ。 (2) $p_4$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ 個の異なる色を用意し、立方体の各面をいずれかの色で塗る。各面にどの色を塗る確率も等しいとする。辺を共有するどの2つの面にも異なる色が塗られる確率を $p_n$ とする。

(1) $p_3$ を求めよ。

(2) $p_4$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $n=3$ のとき

立方体の各面を塗る色の総数は、$3^6 = 729$ 通り。

辺を共有するどの2つの面も異なる色であるためには、ある面の色が決まると、それに隣接する面は残りの2色で塗る必要がある。立方体のある1つの面を1色目で塗る。それに隣接する4つの面は2色または3色目で塗らなければならない。対面は1色目と同じ色、2色目、3色目のいずれかで塗ることができる。

1つの面の色を固定すると、その対面の色は3通り。

最初の面を塗る色を固定した場合、隣接する4面は残りの2色で塗らなければならない。このとき、隣接する4面の色は、2色を交互に塗る2通りしかない。

したがって、求める確率は、

$p_3 = \frac{3 \times 2}{3^5} = \frac{6}{243} = \frac{2}{81}$

(2) $n=4$ のとき

立方体の各面を塗る色の総数は、$4^6 = 4096$ 通り。

立方体の相対する面をそれぞれ同じ色で塗る場合、ある色を3回使って、残りの3色を1回ずつ使う必要がある。

向かい合う面を同じ色にする場合、4色から3色を選ぶ。3色の中から、同じ色で塗る面を選ぶ必要がある。その組み合わせは ${}_4C_3 \times 3 = 4 \times 3=12$ 通り。

3色で塗る方法は$3!$通り。

したがって、求める確率は、

$p_4 = \frac{{}_4P_3 \times 6}{4^6} = \frac{24 \times 6}{4096} = \frac{144}{4096} = \frac{9}{256}$

3. 最終的な答え

(1) $p_3 = \frac{2}{81}$

(2) $p_4 = \frac{9}{256}$