$\sqrt{12}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{12}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{12}$ を簡単にします。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の値はおよそ1.732なので、$2\sqrt{3}$ の値はおよそ $2 \times 1.732 = 3.464$ となります。

したがって、$\sqrt{12}$ の整数部分は $a=3$ です。

小数部分 $b$ は、$\sqrt{12}$ から整数部分を引いたものなので、$b = \sqrt{12} - a = 2\sqrt{3} - 3$ です。

次に、$a^2 - b^2$ を計算します。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

$a^2 - b^2 = (3 + (2\sqrt{3} - 3)) (3 - (2\sqrt{3} - 3))$

$a^2 - b^2 = (2\sqrt{3})(6 - 2\sqrt{3})$

$a^2 - b^2 = 12\sqrt{3} - 4 \times 3$

$a^2 - b^2 = 12\sqrt{3} - 12$

別の方法として、$a^2 - b^2 = 3^2 - (2\sqrt{3} - 3)^2 = 9 - (12 - 12\sqrt{3} + 9) = 9 - (21 - 12\sqrt{3}) = 9 - 21 + 12\sqrt{3} = -12 + 12\sqrt{3} = 12\sqrt{3} - 12$

3. 最終的な答え

$12\sqrt{3} - 12$