図のように白と黒の正方形のタイルを並べ、順に図形を作っていく。 (1) 8番目の図形の黒いタイルの枚数を求めなさい。 (2) $n$番目の図形の白いタイルの枚数を$n$の式で表しなさい。

1. 問題の内容

図のように白と黒の正方形のタイルを並べ、順に図形を作っていく。

(1) 8番目の図形の黒いタイルの枚数を求めなさい。

(2) $n$番目の図形の白いタイルの枚数を$n$の式で表しなさい。

2. 解き方の手順

(1) 黒いタイルの枚数の規則性を見つける。

1番目の図形：1枚

2番目の図形：4枚

3番目の図形：9枚

4番目の図形：16枚

黒いタイルの枚数は、$n$番目の図形で$n^2$枚である。

したがって、8番目の図形の黒いタイルの枚数は、$8^2$枚である。

(2) 全体のタイルの枚数の規則性を見つける。

1番目の図形：$2 \times 2 = 4$枚

2番目の図形：$3 \times 3 = 9$枚

3番目の図形：$4 \times 4 = 16$枚

4番目の図形：$5 \times 5 = 25$枚

全体のタイルの枚数は、$n$番目の図形で$(n+1)^2$枚である。

$n$番目の図形の白いタイルの枚数は、全体のタイルの枚数から黒いタイルの枚数を引けばよい。

白いタイルの枚数 = 全体のタイルの枚数 - 黒いタイルの枚数

白いタイルの枚数 = $(n+1)^2 - n^2$

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$

3. 最終的な答え

(1) 64枚

(2) $2n+1$