問題は以下の３つの部分に分かれています。 (1) 素因数分解を利用して、126と420の最大公約数を求め、また、公約数の個数を求める。 (2) 56にできるだけ小さな自然数をかけて、その積がある自然数の2乗になるようにする。どんな数をかければよいかと、どんな数の2乗になるかを求める。 (3) 252を自然数でわって、その商がある自然数の2乗になるようにする。どんな数で割ればよいかをすべて求める。

1. 問題の内容

問題は以下の３つの部分に分かれています。

(1) 素因数分解を利用して、126と420の最大公約数を求め、また、公約数の個数を求める。

(2) 56にできるだけ小さな自然数をかけて、その積がある自然数の2乗になるようにする。どんな数をかければよいかと、どんな数の2乗になるかを求める。

(3) 252を自然数でわって、その商がある自然数の2乗になるようにする。どんな数で割ればよいかをすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 126と420の最大公約数と公約数の個数を求める。

まず、126と420を素因数分解する。

$126 = 2 \times 3^2 \times 7$

$420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$

最大公約数は、それぞれの素因数の指数の小さい方をとってかけ合わせる。

$2^1 \times 3^1 \times 7^1 = 2 \times 3 \times 7 = 42$

したがって、最大公約数は42。

公約数は、最大公約数の約数である。

42の約数の個数は、素因数分解した指数のそれぞれに1を足してかけ合わせる。

$(1+1) \times (1+1) \times (1+1) = 2 \times 2 \times 2 = 8$

したがって、公約数の個数は8個。

(2) 56にできるだけ小さな自然数をかけて、ある自然数の2乗にする。

56を素因数分解する。

$56 = 2^3 \times 7$

ある自然数の2乗にするためには、素因数分解したときの各素数の指数が偶数になる必要がある。

そのため、$2^3 \times 7$ に $2 \times 7$ をかけると、$2^4 \times 7^2 = (2^2 \times 7)^2 = (4 \times 7)^2 = 28^2$となり、28の2乗になる。

したがって、かける数は14で、28の2乗になる。

(3) 252を自然数で割って、その商がある自然数の2乗になるようにする。

252を素因数分解する。

$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

252を割った商が、ある自然数の2乗になるためには、

$2^2 \times 3^2 \times 7$ を $7$ で割れば $2^2 \times 3^2 = (2 \times 3)^2 = 6^2$ となり、6の2乗になる。

$2^2 \times 3^2 \times 7$ を $2^2 \times 7 = 28$ で割れば $3^2 = 9 = 3^2$ となり、3の2乗になる。

$2^2 \times 3^2 \times 7$ を $3^2 \times 7 = 63$ で割れば $2^2 = 4 = 2^2$ となり、2の2乗になる。

$2^2 \times 3^2 \times 7$ を $2^2 \times 3^2 \times 7 = 252$ で割れば $1 = 1^2$ となり、1の2乗になる。

したがって、割る数は、7, 28, 63, 252。

3. 最終的な答え

(1) 最大公約数: 42, 公約数の個数: 8個

(2) かける数: 14, 2乗になる数: 28

(3) 割る数: 7, 28, 63, 252