問題6, 7, 8, 9について、それぞれ計算または値を求める問題です。 問題6は根号を含む式の加減に関する計算問題です。 問題7はいろいろな計算をする問題です。 問題8は近似値を使って、別の根号の値を求める問題です。 問題9は平方根の応用で、与えられた式が自然数となるような最小の整数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題6, 7, 8, 9について、それぞれ計算または値を求める問題です。

問題6は根号を含む式の加減に関する計算問題です。

問題7はいろいろな計算をする問題です。

問題8は近似値を使って、別の根号の値を求める問題です。

問題9は平方根の応用で、与えられた式が自然数となるような最小の整数を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題6:

(1) $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{50}$ を計算します。

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

したがって、

$\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{50} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3-2+5)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{72} - 2\sqrt{75} - 3\sqrt{18} + 11\sqrt{3}$ を計算します。

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

したがって、

$\sqrt{72} - 2\sqrt{75} - 3\sqrt{18} + 11\sqrt{3} = 6\sqrt{2} - 2(5\sqrt{3}) - 3(3\sqrt{2}) + 11\sqrt{3} = 6\sqrt{2} - 10\sqrt{3} - 9\sqrt{2} + 11\sqrt{3} = (6-9)\sqrt{2} + (-10+11)\sqrt{3} = -3\sqrt{2} + \sqrt{3}$

(3) $\frac{12}{\sqrt{6}} - 3\sqrt{6}$ を計算します。

$\frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{12}{\sqrt{6}} - 3\sqrt{6} = 2\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = - \sqrt{6}$

(4) $\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3}$ を計算します。

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

したがって、

$\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

問題7:

(1) $6 \div \sqrt{18} - \sqrt{18}$を計算します。

$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$6 \div \sqrt{18} = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$6 \div \sqrt{18} - \sqrt{18} = \sqrt{2} - 3\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{2}(\sqrt{10}-\sqrt{2})$を計算します。

$3\sqrt{2}(\sqrt{10}-\sqrt{2}) = 3\sqrt{20} - 3(2) = 3\sqrt{4\times 5} - 6 = 3(2\sqrt{5}) - 6 = 6\sqrt{5} - 6$

(3) $(\sqrt{3}-4)(\sqrt{3}+2)$を計算します。

$(\sqrt{3}-4)(\sqrt{3}+2) = 3 + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 8 = -5 - 2\sqrt{3}$

(4) $(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2$を計算します。

$(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 - 2\sqrt{14} + 2 = 9 - 2\sqrt{14}$

(5) $(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)$を計算します。

$(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3) = 5 - 9 = -4$

(6) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{12}+3\sqrt{2})$を計算します。

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{12}+3\sqrt{2}) = (\sqrt{3}-\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}) = 2(3) + 3\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 3(2) = 6 + \sqrt{6} - 6 = \sqrt{6}$

問題8:

$\sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = 10\sqrt{5} = 10 \times 2.236 = 22.36$

$\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{50}{100}} = \frac{\sqrt{50}}{10} = \frac{7.071}{10} = 0.7071$

問題9:

$\sqrt{108n}$ が自然数となるような最小の整数 $n$ を求めます。

$108 = 2^2 \times 3^3$

$\sqrt{108n} = \sqrt{2^2 \times 3^3 \times n}$

$n = 3$ のとき、

$\sqrt{108 \times 3} = \sqrt{2^2 \times 3^4} = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$ となり、自然数となります。

3. 最終的な答え

問題6:

(1) $6\sqrt{2}$

(2) $-3\sqrt{2} + \sqrt{3}$

(3) $-\sqrt{6}$

(4) $\sqrt{3}$

問題7:

(1) $-2\sqrt{2}$

(2) $6\sqrt{5}-6$

(3) $-5 - 2\sqrt{3}$

(4) $9 - 2\sqrt{14}$

(5) $-4$

(6) $\sqrt{6}$

問題8:

$\sqrt{500} = 22.36$

$\sqrt{0.5} = 0.7071$

問題9:

$n = 3$