$x$ は分母が100より小さい真分数（分母と分子は正の整数で、分子は分母より小さい）とします。このとき、$|x - \frac{39}{100}|$ を最小とする $x$ を求めます。

1. 問題の内容

$x$ は分母が100より小さい真分数（分母と分子は正の整数で、分子は分母より小さい）とします。このとき、$|x - \frac{39}{100}|$ を最小とする $x$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から、$x$ は $\frac{a}{b}$ という分数で表され、以下の条件を満たします。

* $a, b$ は正の整数

* $a < b$

* $b < 100$

$|x - \frac{39}{100}|$ を最小にする $x$ を求めるということは、$x$ が $\frac{39}{100}$ に最も近い真分数であるということです。

$\frac{39}{100}$ に近い分数をいくつか試してみます。例えば、分母が小さい方から考えていくと、$\frac{1}{2}$ は $\frac{50}{100}$ なので少し離れています。

$\frac{1}{3}$ は $\frac{33.33}{100}$ あたり、$1/4$だと25/100。

$\frac{39}{100}$ を既約分数で表すと $\frac{39}{100}$ のままなので、約分はできません。

次に、$\frac{39}{100}$ に近い分数を探すために、連分数展開を試みます。

$\frac{39}{100} = \frac{1}{\frac{100}{39}} = \frac{1}{2 + \frac{22}{39}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{39}{22}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{17}{22}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{22}{17}}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{5}{17}}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{17}{5}}}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3 + \frac{2}{5}}}}} = [0; 2, 1, 1, 3, ...]$

連分数展開の途中で打ち切ることで、$\frac{39}{100}$ の近似分数を得られます。

* $[0; 2] = \frac{1}{2} = \frac{50}{100}$

* $[0; 2, 1] = \frac{1}{2 + \frac{1}{1}} = \frac{1}{3} = \frac{33.33}{100}$

* $[0; 2, 1, 1] = \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} = \frac{40}{100}$

$\frac{2}{5}$ は $\frac{40}{100}$ なので、$\frac{39}{100}$ にかなり近いです。

別の考え方として、$x = \frac{a}{b}$ とすると、$\left|\frac{a}{b} - \frac{39}{100}\right| = \left|\frac{100a - 39b}{100b}\right|$ を最小化したいです。

$100a - 39b = 0$ に近いほど良いので、$100a \approx 39b$ となる $a, b$ を探します。

$b=1$ のとき、$100a \approx 39$ となる整数 $a$ は存在しない。

$b=2$ のとき、$100a \approx 78$ となる整数 $a$ は存在しない。

$b=3$ のとき、$100a \approx 117$ なので、$a=1$ とすると $\frac{1}{3} = \frac{33.33}{100}$

$b=4$ のとき、$100a \approx 156$ なので、$a=1$ とすると $\frac{1}{4} = \frac{25}{100}$

$b=5$ のとき、$100a \approx 195$ なので、$a=2$ とすると $\frac{2}{5} = \frac{40}{100}$

$\left| \frac{2}{5} - \frac{39}{100} \right| = \left| \frac{40}{100} - \frac{39}{100} \right| = \frac{1}{100} = 0.01$

$\left| \frac{1}{3} - \frac{39}{100} \right| = \left| \frac{100}{300} - \frac{117}{300} \right| = \frac{17}{300} \approx 0.0567$

分母を大きくしていくと、より近い分数が見つかる可能性があります。

$\frac{2}{5}$ を少し調整すると、

$\frac{40}{100} = \frac{40 \div 2}{100 \div 2} = \frac{20}{50}$

$\frac{40}{100}$ より少し小さい分数としては、$\frac{39}{99}, \frac{38}{98}, etc.$ が考えられます。

ここで, $\frac{39}{100} = 0.39$ であり, $\frac{2}{5}=0.4$なので, $\frac{38}{97} \approx 0.39175$, $|0.39175 - 0.39|=0.00175$

$\frac{37}{95} \approx 0.38947$, $|0.38947 - 0.39|=0.00053$

$x = \frac{37}{95}$ の場合, $|x - \frac{39}{100}| = |\frac{37}{95} - \frac{39}{100}| = |\frac{3700 - 3705}{9500}| = \frac{5}{9500} = \frac{1}{1900} \approx 0.000526$

3. 最終的な答え

$\frac{37}{95}$