平行四辺形ABCDにおいて、辺AD, CDの中点をそれぞれE, Fとする。線分BEと線分AFの交点をH、線分BEと対角線ACの交点をG、線分BFと対角線ACの交点をIとする。 (1) AH:HFを最も簡単な整数の比で表せ。 (2) △AGHの面積は四角形FHGIの面積の何倍か求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺AD, CDの中点をそれぞれE, Fとする。線分BEと線分AFの交点をH、線分BEと対角線ACの交点をG、線分BFと対角線ACの交点をIとする。

(1) AH:HFを最も簡単な整数の比で表せ。

(2) △AGHの面積は四角形FHGIの面積の何倍か求めよ。

2. 解き方の手順

(1) AH:HFを求める。

まず、平行四辺形ABCDの性質から、AD // BCかつAD = BCである。また、E, FはそれぞれAD, CDの中点であるから、AE = (1/2)AD = (1/2)BC, CF = (1/2)CD = (1/2)AB。AB = CDなので、AE = CF。

△AEHと△CFHにおいて、

$\angle EAH = \angle FCH$ (平行線の錯角)

$\angle AHE = \angle CHF$ (対頂角)

よって、△AEH ∽ △CFH。

したがって、AH:HF = AE:CF = (1/2)AD:(1/2)CD　

AD=BC、CD=ABなのでAH:HF=AE:CF。

AE = (1/2)AD = (1/2)BC, CF = (1/2)CD = (1/2)AB。

$\frac{AE}{CF} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}AB}= \frac{BC}{AB}$

ここで，AE/CFを求めるため，別の三角形の相似を考える。

△ABGと△CEGにおいて、平行四辺形の性質よりAB // CDなので、$\angle BAG=\angle ECG$。

また、$\angle ABG=\angle CEG$（錯角）。したがって△ABG相似△CEG。

したがってAG/CG = AB/CE。ここでCE=DEなので、

AG/CG = AB/DE = 2AB/AD =2AB/BC。

AC = AG + GCであるからAG/AC = AG/(AG+GC) = (2AB/BC)/(1+2AB/BC) = 2AB/(BC+2AB)。

また△AEH ∽ △CFHよりAH/AF=AE/(AE+CF)なので、

AF = AH+HF。

AH/HF = AE/CF = AE/(1/2 AB) = BC/AB

AH/AF=AE/(AE+CF)=(1/2BC)/(1/2BC+1/2AB) = BC/(BC+AB)

ここで,

AE/CF=AD/CD=AB/BC。

AB:BC=3:1とするとAD=BC=1, AB=CD=3

AH/HF=1/3よりAH:HF=1:3

ゆえにAH:HF=3:1

(2) △AGHの面積は四角形FHGIの面積の何倍か求める。

AG/GC = (2AB)/(BC) = 6/1

AG/AC = 6/7。

AH/AF = 1/4。

△AGH = (AG/AC)*(AH/AF)*△ACF

△ACF = (1/2)△ACD = (1/4)平行四辺形ABCD

△AGH = (6/7)*(1/4)*(1/4) 平行四辺形ABCD = (6/112) 平行四辺形ABCD = (3/56) 平行四辺形ABCD

AG/AC=6/7なので、IC/AC=1/7。

HF/AF = 3/4なので、AH/AF=1/4。

△AIC=(1/2)*(1/7) 平行四辺形ABCD = (1/14)平行四辺形ABCD = (4/56) 平行四辺形ABCD。

面積比の合計

(△AGH)+四角形(FHGI)+△AIC)=(3/56+5/56)= (8/56) 平行四辺形ABCD

△AIC=(8/56)

よって△AGH/(FHGI) =3/5

FHGI=56-3-4 =5

四角形FHGI=5/56より

三角形AGHの面積は四角形FHGIの面積の3/5倍

3. 最終的な答え

(1) AH:HF = 3:1

(2) △AGHの面積は四角形FHGIの面積の 3/5 倍