三角形ABCの内部の点Pと頂点A, B, Cを結ぶ直線AP, BP, CPと、辺BC, CA, ABとの交点をそれぞれD, E, Fとする。このとき、以下の等式を証明する問題である。 $$ \frac{|PD|}{|AD|} + \frac{|PE|}{|BE|} + \frac{|PF|}{|CF|} = 1 $$

1. 問題の内容

三角形ABCの内部の点Pと頂点A, B, Cを結ぶ直線AP, BP, CPと、辺BC, CA, ABとの交点をそれぞれD, E, Fとする。このとき、以下の等式を証明する問題である。

$$\frac{|PD|}{|AD|} + \frac{|PE|}{|BE|} + \frac{|PF|}{|CF|} = 1$$

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理と面積比の関係を利用して解くことができる。

まず、$\triangle PBC$, $\triangle PCA$, $\triangle PAB$の面積をそれぞれ$S_1$, $S_2$, $S_3$とおく。

また、$\triangle ABC$ の面積を $S$ とおく。このとき、$S = S_1 + S_2 + S_3$である。

$\frac{|PD|}{|AD|} = \frac{|PD|}{|AP|+|PD|}$ である。ここで、$\frac{|PD|}{|AD|}$を求めるために、面積比を考える。

$\frac{S_1}{S} = \frac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{1}{2} |BC| h_1}{\frac{1}{2} |BC| h} = \frac{h_1}{h}$。ここで、$h_1$ は点 P から辺 BC への距離、$h$ は点 A から辺 BC への距離である。

また、$\frac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{|PD|}{|AD|}$である。

同様に考えると、

$\frac{|PE|}{|BE|} = \frac{S_2}{S}$

$\frac{|PF|}{|CF|} = \frac{S_3}{S}$

したがって、

$\frac{|PD|}{|AD|} + \frac{|PE|}{|BE|} + \frac{|PF|}{|CF|} = \frac{S_1}{S} + \frac{S_2}{S} + \frac{S_3}{S} = \frac{S_1 + S_2 + S_3}{S} = \frac{S}{S} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{|PD|}{|AD|} + \frac{|PE|}{|BE|} + \frac{|PF|}{|CF|} = 1$