空間$R^3$内で、与えられた点を通る平面の式を求める問題です。 (1) 3点A(1, 4, 2), B(3, -2, 0), C(2, 1, 3)を通る平面の式を求めます。 (2) 3点O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(-2, 1, -1)を通る平面の式を求めます。

1. 問題の内容

空間$R^3$内で、与えられた点を通る平面の式を求める問題です。

(1) 3点A(1, 4, 2), B(3, -2, 0), C(2, 1, 3)を通る平面の式を求めます。

(2) 3点O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(-2, 1, -1)を通る平面の式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3点A(1, 4, 2), B(3, -2, 0), C(2, 1, 3)を通る平面の式を求める。

$\vec{AB} = (3-1, -2-4, 0-2) = (2, -6, -2)$

$\vec{AC} = (2-1, 1-4, 3-2) = (1, -3, 1)$

法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積で求められます。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = ( (-6)(1) - (-2)(-3), (-2)(1) - (2)(1), (2)(-3) - (-6)(1) ) = (-6 - 6, -2 - 2, -6 + 6) = (-12, -4, 0)$

法線ベクトルを簡略化するために -4 で割ると、$\vec{n} = (3, 1, 0)$となります。

平面の式は、$3(x-1) + 1(y-4) + 0(z-2) = 0$と表せます。

$3x - 3 + y - 4 = 0$

$3x + y - 7 = 0$

$3x + y = 7$

(2) 3点O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(-2, 1, -1)を通る平面の式を求める。

$\vec{OA} = (1, 2, 3)$

$\vec{OB} = (-2, 1, -1)$

法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ の外積で求められます。

$\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = ( (2)(-1) - (3)(1), (3)(-2) - (1)(-1), (1)(1) - (2)(-2) ) = (-2 - 3, -6 + 1, 1 + 4) = (-5, -5, 5)$

法線ベクトルを簡略化するために -5 で割ると、$\vec{n} = (1, 1, -1)$となります。

平面の式は、$1(x-0) + 1(y-0) - 1(z-0) = 0$と表せます。

$x + y - z = 0$

3. 最終的な答え

(1) $3x + y = 7$

(2) $x + y - z = 0$