3点 $(2, 5)$, $(0, a)$, $(a, 3)$ が一直線上にあるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

3点 $(2, 5)$, $(0, a)$, $(a, 3)$ が一直線上にあるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるということは、これらの点から作られるベクトルの方向が同じであることを意味します。

まず、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求めます。ここで、$A(2, 5)$, $B(0, a)$, $C(a, 3)$ とします。

$\vec{AB} = (0-2, a-5) = (-2, a-5)$

$\vec{AC} = (a-2, 3-5) = (a-2, -2)$

3点 $A, B, C$ が一直線上にあるとき、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ は平行であるので、ある実数 $k$ が存在して $\vec{AC} = k\vec{AB}$ と書けます。

つまり、

$(a-2, -2) = k(-2, a-5)$

これは以下の2つの式に分解できます。

$a-2 = -2k$ ...(1)

$-2 = k(a-5)$ ...(2)

(2)式から $k = \frac{-2}{a-5}$ となります。これを(1)式に代入します。

$a-2 = -2 \cdot \frac{-2}{a-5}$

$a-2 = \frac{4}{a-5}$

両辺に $a-5$ を掛けると

$(a-2)(a-5) = 4$

$a^2 - 7a + 10 = 4$

$a^2 - 7a + 6 = 0$

これを因数分解すると

$(a-1)(a-6) = 0$

したがって、$a=1$ または $a=6$ となります。

$a=5$ のとき、$\vec{AB} = (-2, 0)$となり、$k$ の値が計算できないので、$a=5$ は不適です。

3. 最終的な答え

$a = 1, 6$