片持ち梁の先端に集中荷重 $P$ が作用する場合のせん断力図 (SFD) と曲げモーメント図 (BMD) を描き、最大曲げ応力 $\sigma_{max}$ と最大せん断応力 $\tau_{max}$ を求める。また、梁の長さが80cm、断面が20mmの一辺を持つ正方形のとき、最大曲げ応力は最大せん断応力の何倍になるか求める。

1. 問題の内容

片持ち梁の先端に集中荷重 $P$ が作用する場合のせん断力図 (SFD) と曲げモーメント図 (BMD) を描き、最大曲げ応力 $\sigma_{max}$ と最大せん断応力 $\tau_{max}$ を求める。また、梁の長さが80cm、断面が20mmの一辺を持つ正方形のとき、最大曲げ応力は最大せん断応力の何倍になるか求める。

2. 解き方の手順

(1) SFDとBMDの描画:

* 支点反力 $R_A$ とモーメント反力 $M_A$ を求める。

* 力の釣り合い: $-R_A + P = 0$ より、 $R_A = P$

* モーメントの釣り合い: $-M_A - Pl = 0$ より、 $M_A = -Pl$

* せん断力図 (SFD) は、支点から先端に向かって一定値 $P$ であり、正の値となる。

* 曲げモーメント図 (BMD) は、支点から先端に向かって線形に変化し、支点で $-Pl$ 、先端で 0 となる。負の値となる。

(2) 最大曲げ応力 $\sigma_{max}$ と最大せん断応力 $\tau_{max}$ の算出:

* 最大曲げモーメントは、支点において $|M_{max}| = Pl$ となる。

* 断面二次モーメント $I$ は、一辺 $a$ の正方形断面なので、 $I = \frac{a^4}{12}$

* 断面係数 $Z$ は、 $Z = \frac{I}{y_{max}} = \frac{a^4/12}{a/2} = \frac{a^3}{6}$ (ここで、$y_{max}=a/2$は中立軸から最外縁までの距離)

* 最大曲げ応力 $\sigma_{max}$ は、 $\sigma_{max} = \frac{|M_{max}|}{Z} = \frac{Pl}{a^3/6} = \frac{6Pl}{a^3}$

* 最大せん断力は $P$ である。

* 断面積 $A$ は、正方形断面なので $A = a^2$

* 平均せん断応力 $\tau_{avg}$ は、 $\tau_{avg} = \frac{P}{A} = \frac{P}{a^2}$

* 正方形断面の場合、最大せん断応力は平均せん断応力の1.5倍となるので、 $\tau_{max} = 1.5\tau_{avg} = \frac{3P}{2a^2}$

(3) 最大曲げ応力は最大せん断応力の何倍か:

* $\frac{\sigma_{max}}{\tau_{max}} = \frac{6Pl/a^3}{3P/(2a^2)} = \frac{6Pl}{a^3} \cdot \frac{2a^2}{3P} = \frac{4l}{a}$

* $l = 80 \text{ cm} = 800 \text{ mm}, a = 20 \text{ mm}$ を代入すると、 $\frac{\sigma_{max}}{\tau_{max}} = \frac{4 \cdot 800}{20} = \frac{3200}{20} = 160$

3. 最終的な答え

* 最大曲げ応力 $\sigma_{max} = \frac{6Pl}{a^3}$

* 最大せん断応力 $\tau_{max} = \frac{3P}{2a^2}$

* 最大曲げ応力は最大せん断応力の160倍