与えられたポテンシャル $U(x, y, z)$ に対して、保存力 $\vec{F}$ の各成分 $F_x, F_y, F_z$ を求める問題です。 保存力 $\vec{F}$ はポテンシャル $U$ の勾配の負の符号で与えられます。すなわち、 $$ \vec{F} = -\nabla U = -\left(\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}\right) $$ 具体的には、以下の2つの場合について、$F_x, F_y, F_z$ を計算します。 i. $U(x, y, z) = 10x^3 y^4 z^5$ ii. $U(x, y, z) = (x + y)^2 + z^2 = x^2 + 2xy + y^2 + z^2$

1. 問題の内容

与えられたポテンシャル $U(x, y, z)$ に対して、保存力 $\vec{F}$ の各成分 $F_x, F_y, F_z$ を求める問題です。

保存力 $\vec{F}$ はポテンシャル $U$ の勾配の負の符号で与えられます。すなわち、

$$\vec{F} = -\nabla U = -\left(\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}\right)$$

具体的には、以下の2つの場合について、$F_x, F_y, F_z$ を計算します。

i. $U(x, y, z) = 10x^3 y^4 z^5$

ii. $U(x, y, z) = (x + y)^2 + z^2 = x^2 + 2xy + y^2 + z^2$

2. 解き方の手順

i. $U(x, y, z) = 10x^3 y^4 z^5$ の場合:

* $F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x}(10x^3 y^4 z^5) = -30x^2 y^4 z^5$

* $F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}(10x^3 y^4 z^5) = -40x^3 y^3 z^5$

* $F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}(10x^3 y^4 z^5) = -50x^3 y^4 z^4$

ii. $U(x, y, z) = (x + y)^2 + z^2 = x^2 + 2xy + y^2 + z^2$ の場合:

* $F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2xy + y^2 + z^2) = -(2x + 2y) = -2(x+y)$

* $F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2xy + y^2 + z^2) = -(2x + 2y) = -2(x+y)$

* $F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}(x^2 + 2xy + y^2 + z^2) = -2z$

3. 最終的な答え

i. $U(x, y, z) = 10x^3 y^4 z^5$ のとき:

$F_x = -30x^2 y^4 z^5$

$F_y = -40x^3 y^3 z^5$

$F_z = -50x^3 y^4 z^4$

ii. $U(x, y, z) = (x + y)^2 + z^2 = x^2 + 2xy + y^2 + z^2$ のとき:

$F_x = -2(x+y)$

$F_y = -2(x+y)$

$F_z = -2z$