原点に点電荷 $q$ があるとき、位置ベクトル $\mathbf{r}$ の地点における電場 $\mathbf{E}$ を、$\mathbf{r}$ と原点からの距離 $r$ を用いて表す。電場の大きさは $E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ で与えられる。

1. 問題の内容

原点に点電荷 $q$ があるとき、位置ベクトル $\mathbf{r}$ の地点における電場 $\mathbf{E}$ を、$\mathbf{r}$ と原点からの距離 $r$ を用いて表す。電場の大きさは $E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ で与えられる。

2. 解き方の手順

電場の大きさは与えられているので、電場の方向を決定すればよい。問題文より、電場の向きは半径方向、つまり位置ベクトル $\mathbf{r}$ の方向を向いている。

$\mathbf{r}$ の方向を向く単位ベクトルは、$\frac{\mathbf{r}}{r}$ と表される。したがって、電場 $\mathbf{E}$ は、電場の大きさに単位ベクトルをかけたものとして表される。

$\mathbf{E} = E \frac{\mathbf{r}}{r}$

$E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ を代入すると、

$\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2} \frac{\mathbf{r}}{r}$

$\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^3} \mathbf{r}$

3. 最終的な答え

$\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^3} \mathbf{r}$