慣性系S(x,y,z)のz軸周りに角速度$\omega$で回転する座標系S'(x',y',z')における質量mの質点の運動方程式が与えられています。 ``` m*x'' = Fx' + m*ω^2*x' + 2*m*ω*y' m*y'' = Fy' + m*ω^2*y' - 2*m*ω*x' m*z'' = Fz' ``` (1) この運動方程式に基づいて、遠心力の大きさを求め、その向きを説明してください。 (2) この運動方程式に基づいて、コリオリ力がS'系の速度に垂直に働くことを示し、コリオリ力の向きを説明してください。

1. 問題の内容

慣性系S(x,y,z)のz軸周りに角速度$\omega$で回転する座標系S'(x',y',z')における質量mの質点の運動方程式が与えられています。

```

m*x'' = Fx' + m*ω^2*x' + 2*m*ω*y'

m*y'' = Fy' + m*ω^2*y' - 2*m*ω*x'

m*z'' = Fz'

```

(1) この運動方程式に基づいて、遠心力の大きさを求め、その向きを説明してください。

(2) この運動方程式に基づいて、コリオリ力がS'系の速度に垂直に働くことを示し、コリオリ力の向きを説明してください。

2. 解き方の手順

(1) 遠心力の大きさの計算と向きの説明

運動方程式から、遠心力は慣性力の一部として現れます。

遠心力は、$m\omega^2x'$ と $m\omega^2y'$の項から構成されます。

これらの項をベクトルで表すと、$\vec{F}_{遠心} = m\omega^2(x'\hat{i} + y'\hat{j})$となります。

ここで$\hat{i}, \hat{j}$はそれぞれx', y'方向の単位ベクトルです。

したがって、遠心力の大きさは、

$|\vec{F}_{遠心}| = m\omega^2\sqrt{x'^2 + y'^2} = m\omega^2r'$

となります。ここで、$r' = \sqrt{x'^2 + y'^2}$はz'軸からの距離です。

遠心力の向きは、z'軸から遠ざかる方向、すなわち、回転軸から外向きに広がっていく方向です。

(2) コリオリ力の速度との垂直性の証明と向きの説明

運動方程式から、コリオリ力は$2m\omega y'$と$-2m\omega x'$の項から構成されます。

これらの項をベクトルで表すと、$\vec{F}_{コリオリ} = -2m\omega(y'\hat{i} - x'\hat{j}) = -2m\omega(-x'\hat{j} + y'\hat{i})$となります。

ここで$\hat{i}, \hat{j}$はそれぞれx', y'方向の単位ベクトルです。

速度ベクトルは$\vec{v'} = x'\hat{i} + y'\hat{j}$です。

$\vec{F}_{コリオリ} \cdot \vec{v'} = -2m\omega(y'x' - x'y') = 0$

したがって、コリオリ力は速度ベクトルに垂直です。

コリオリ力の向きは、速度ベクトルをz軸周りに90度回転させた方向になります。つまり、北半球では進行方向に対して右向きに、南半球では左向きに働きます。

もしくは、$F_{コリオリ} = 2m(\vec{v'} \times \vec{\omega})$のベクトル積の方向になります。

3. 最終的な答え

(1) 遠心力の大きさ: $m\omega^2r'$, 向き: 回転軸から外向き

(2) コリオリ力は速度ベクトルに垂直, 向き: 速度ベクトルをz軸周りに90度回転させた方向