ある日の数学の試験の平均点をA組、B組、C組の男女別にまとめた表が与えられている。 xは1以上39以下の整数とする。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しくなるときのxの値を求める。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上となるようなxの値をすべて求める。 (3) 後日、C組の2人の男子が試験を受け、その合計点をk点とする。当初C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、xの値がただ1つに定まるようなkの値をすべて求める。

1. 問題の内容

ある日の数学の試験の平均点をA組、B組、C組の男女別にまとめた表が与えられている。

xは1以上39以下の整数とする。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しくなるときのxの値を求める。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上となるようなxの値をすべて求める。

(3) 後日、C組の2人の男子が試験を受け、その合計点をk点とする。当初C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、xの値がただ1つに定まるようなkの値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) A組の平均点を求める。

A組の合計点は $32 \times 60 + 8 \times 70 = 1920 + 560 = 2480$。

A組の人数は $32 + 8 = 40$。

A組の平均点は $2480 / 40 = 62$ 点。

B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、つまり62点となるとき、

B組の合計点は $(40-x) \times 65 + x \times 55 = 2600 - 65x + 55x = 2600 - 10x$。

B組の人数は $40 - x + x = 40$。

B組の平均点は $\frac{2600 - 10x}{40}$。

これが62点に等しいので、 $\frac{2600 - 10x}{40} = 62$。

$2600 - 10x = 2480$。

$10x = 120$。

$x = 12$。

(2) C組の平均点を求める。

C組の合計点は $(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 = 59x + 295 + 2560 - 64x = -5x + 2855$。

C組の人数は $x+5 + 40-x = 45$。

C組の平均点は $\frac{-5x + 2855}{45}$。

C組の平均点がA組の平均点以上なので、 $\frac{-5x + 2855}{45} \geq 62$。

$-5x + 2855 \geq 2790$。

$-5x \geq -65$。

$x \leq 13$。

B組の合計得点は $2600 - 10x$。

C組の合計得点は $-5x + 2855$。

B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上なので、

$| (2600 - 10x) - (-5x + 2855) | \geq 300$。

$| -5x - 255 | \geq 300$。

$|-5(x+51)| \geq 300$。

$|x+51| \geq 60$。

$x+51 \geq 60$ または $x+51 \leq -60$。

$x \geq 9$ または $x \leq -111$。

xは1以上39以下の整数なので、$9 \leq x \leq 39$。

$x \leq 13$ かつ $9 \leq x \leq 39$ より、$9 \leq x \leq 13$。

したがって、x = 9, 10, 11, 12, 13。

(3) 当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったので、$x \leq 13$。

C組の平均点がA組の平均点より低くなったので、$\frac{-5x + 2855 + k}{47} < 62$。

$-5x + 2855 + k < 2914$。

$k < 5x + 59$。

xの値がただ1つに定まるためには、x=13でなければならない。なぜなら、問題文に「当初、C組の平均点がA組の平均点以上であった」とあるので、$x \leq 13$である。$x \leq 12$の場合、xは複数存在することになってしまう。

x=13のとき、$k < 5 \times 13 + 59 = 65 + 59 = 124$。

x=12のとき、$k \geq 5 \times 12 + 59 = 60 + 59 = 119$。

したがって、$119 \leq k < 124$。

kは整数なので、k=119, 120, 121, 122, 123。

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点: 62点、xの値: 12

(2) xの値: 9, 10, 11, 12, 13

(3) kの値: 119, 120, 121, 122, 123