与えられた偏微分方程式は、$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} - C^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = 0$ です。ここで、$C$ は正の実数です。 (1) $u(x,t) = X(x)T(t)$ であるとき、$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}$ と $\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}$ を計算します。 (2) $\frac{\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2}}{X(x)} = \lambda$ であるとき、$u(x,t)$ の一般解を求めます。ただし、$\lambda$ は実数です。

1. 問題の内容

与えられた偏微分方程式は、$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} - C^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = 0$ です。ここで、$C$ は正の実数です。

(1) $u(x,t) = X(x)T(t)$ であるとき、$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}$ と $\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}$ を計算します。

(2) $\frac{\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2}}{X(x)} = \lambda$ であるとき、$u(x,t)$ の一般解を求めます。ただし、$\lambda$ は実数です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$u(x,t) = X(x)T(t)$ を時間 $t$ で2回偏微分します。

$\frac{\partial u}{\partial t} = X(x) \frac{dT(t)}{dt}$

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = X(x) \frac{d^2 T(t)}{dt^2} = X(x) T''(t)$

次に、$u(x,t) = X(x)T(t)$ を位置 $x$ で2回偏微分します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = T(t) \frac{dX(x)}{dx}$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = T(t) \frac{d^2 X(x)}{dx^2} = T(t) X''(x)$

(2)

$\frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda$ より、

$X''(x) = \lambda X(x)$

$\lambda > 0$ の場合、$\lambda = k^2$ とすると、

$X''(x) = k^2 X(x)$

$X(x) = A e^{kx} + B e^{-kx}$

$\lambda = 0$ の場合、

$X''(x) = 0$

$X(x) = Ax + B$

$\lambda < 0$ の場合、$\lambda = -k^2$ とすると、

$X''(x) = -k^2 X(x)$

$X(x) = A \cos(kx) + B \sin(kx)$

偏微分方程式に代入すると、

$X(x)T''(t) - C^2 X''(x)T(t) = 0$

$X(x)T''(t) = C^2 X''(x)T(t)$

$\frac{T''(t)}{C^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda$

$T''(t) = \lambda C^2 T(t)$

$\lambda > 0$ の場合、$\lambda = k^2$

$T''(t) = k^2 C^2 T(t)$

$T(t) = C e^{kCt} + D e^{-kCt}$

$u(x,t) = (A e^{kx} + B e^{-kx})(C e^{kCt} + D e^{-kCt})$

$\lambda = 0$ の場合、

$T''(t) = 0$

$T(t) = Ct + D$

$u(x,t) = (Ax+B)(Ct+D)$

$\lambda < 0$ の場合、$\lambda = -k^2$

$T''(t) = -k^2 C^2 T(t)$

$T(t) = C \cos(kCt) + D \sin(kCt)$

$u(x,t) = (A \cos(kx) + B \sin(kx))(C \cos(kCt) + D \sin(kCt))$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = X(x) T''(t)$

$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = T(t) X''(x)$

(2)

$\lambda > 0$ の場合: $u(x,t) = (A e^{kx} + B e^{-kx})(C e^{kCt} + D e^{-kCt})$

$\lambda = 0$ の場合: $u(x,t) = (Ax+B)(Ct+D)$

$\lambda < 0$ の場合: $u(x,t) = (A \cos(kx) + B \sin(kx))(C \cos(kCt) + D \sin(kCt))$

ここで、$k = \sqrt{-\lambda}$