質量 $m$ の2つの物体が、それぞれ初速度 $v_1$ と $v_2$ で非弾性衝突する。反発係数 $e=0.80$ とする。 (1) 衝突後の2つの物体の速度を $v'_1$ と $v'_2$ とするとき、運動量保存の式を書け。 (2) 衝突後の2つの物体の速度を $v'_1$ と $v'_2$ とするとき、相対速度を反発係数を用いて表せ。 (3) $v_1 = 10 \ m/s$, $v_2 = -4.0 \ m/s$ のとき、衝突後の2つの物体の速度 $v'_1$ と $v'_2$ を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の2つの物体が、それぞれ初速度 $v_1$ と $v_2$ で非弾性衝突する。反発係数 $e=0.80$ とする。

(1) 衝突後の2つの物体の速度を $v'_1$ と $v'_2$ とするとき、運動量保存の式を書け。

(2) 衝突後の2つの物体の速度を $v'_1$ と $v'_2$ とするとき、相対速度を反発係数を用いて表せ。

(3) $v_1 = 10 \ m/s$, $v_2 = -4.0 \ m/s$ のとき、衝突後の2つの物体の速度 $v'_1$ と $v'_2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 運動量保存則より、衝突前後の運動量の和は等しいので、

$mv_1 + mv_2 = mv'_1 + mv'_2$

質量 $m$ で割ると、

$v_1 + v_2 = v'_1 + v'_2$

(2) 反発係数 $e$ は、相対速度の比のマイナス1倍で定義される。つまり、

$e = -\frac{v'_1 - v'_2}{v_1 - v_2}$

よって、

$v'_1 - v'_2 = -e(v_1 - v_2)$

(3) (1) と (2) の結果を使って、$v'_1$ と $v'_2$ を求める。

(1)より $v'_2 = v_1 + v_2 - v'_1$。これを(2)に代入すると、

$v'_1 - (v_1 + v_2 - v'_1) = -e(v_1 - v_2)$

$2v'_1 - v_1 - v_2 = -e(v_1 - v_2)$

$2v'_1 = (1-e)v_1 + (1+e)v_2$

$v'_1 = \frac{1}{2}((1-e)v_1 + (1+e)v_2)$

$v'_1 = \frac{1}{2}((1-0.8) \times 10 + (1+0.8) \times (-4))$

$v'_1 = \frac{1}{2}(0.2 \times 10 + 1.8 \times (-4))$

$v'_1 = \frac{1}{2}(2 - 7.2)$

$v'_1 = \frac{1}{2}(-5.2) = -2.6 \ m/s$

同様に、$v'_1 = v_1 + v_2 - v'_2$ を (2) に代入すると、

$v_1 + v_2 - v'_2 - v'_2 = -e(v_1 - v_2)$

$v_1 + v_2 - 2v'_2 = -e(v_1 - v_2)$

$2v'_2 = (1+e)v_1 + (1-e)v_2$

$v'_2 = \frac{1}{2}((1+e)v_1 + (1-e)v_2)$

$v'_2 = \frac{1}{2}((1+0.8) \times 10 + (1-0.8) \times (-4))$

$v'_2 = \frac{1}{2}(1.8 \times 10 + 0.2 \times (-4))$

$v'_2 = \frac{1}{2}(18 - 0.8)$

$v'_2 = \frac{1}{2}(17.2) = 8.6 \ m/s$

3. 最終的な答え

(1) $v_1 + v_2 = v'_1 + v'_2$

(2) $v'_1 - v'_2 = -e(v_1 - v_2)$

(3) $v'_1 = -2.6 \ m/s$, $v'_2 = 8.6 \ m/s$