問題は、ベクトルに関する恒等式と全微分の式を証明することです。 a) $A \cdot (B \times C) = (A \times B) \cdot C$ を証明する。 b) $dz = \nabla f \cdot dr$ を証明する。ただし、$z = f(x, y)$ はスカラー関数、$r$ は位置ベクトル、$dz$ は全微分を表す。

1. 問題の内容

問題は、ベクトルに関する恒等式と全微分の式を証明することです。

a) $A \cdot (B \times C) = (A \times B) \cdot C$ を証明する。

b) $dz = \nabla f \cdot dr$ を証明する。ただし、$z = f(x, y)$ はスカラー関数、$r$ は位置ベクトル、$dz$ は全微分を表す。

2. 解き方の手順

a)

ベクトル $A$, $B$, $C$ をそれぞれ以下のように表す。

$A = (a_1, a_2, a_3)$

$B = (b_1, b_2, b_3)$

$C = (c_1, c_2, c_3)$

まず、$B \times C$ を計算する。

$B \times C = (b_2 c_3 - b_3 c_2, b_3 c_1 - b_1 c_3, b_1 c_2 - b_2 c_1)$

次に、$A \cdot (B \times C)$ を計算する。

$A \cdot (B \times C) = a_1(b_2 c_3 - b_3 c_2) + a_2(b_3 c_1 - b_1 c_3) + a_3(b_1 c_2 - b_2 c_1)$

$A \cdot (B \times C) = a_1 b_2 c_3 - a_1 b_3 c_2 + a_2 b_3 c_1 - a_2 b_1 c_3 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1$

次に、$A \times B$ を計算する。

$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$

次に、$(A \times B) \cdot C$ を計算する。

$(A \times B) \cdot C = (a_2 b_3 - a_3 b_2)c_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)c_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)c_3$

$(A \times B) \cdot C = a_2 b_3 c_1 - a_3 b_2 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 + a_1 b_2 c_3 - a_2 b_1 c_3$

$(A \times B) \cdot C = a_1 b_2 c_3 - a_1 b_3 c_2 + a_2 b_3 c_1 - a_2 b_1 c_3 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1$

したがって、$A \cdot (B \times C) = (A \times B) \cdot C$ が成り立つ。

b)

$z = f(x, y)$ の全微分は、

$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

である。

一方、$\nabla f$ は、

$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

であり、$r$ は位置ベクトルなので、$r = (x, y)$ とすると、

$dr = (dx, dy)$

となる。

したがって、

$\nabla f \cdot dr = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \cdot (dx, dy) = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = dz$

よって、$dz = \nabla f \cdot dr$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

a) $A \cdot (B \times C) = (A \times B) \cdot C$

b) $dz = \nabla f \cdot dr$