99mTcに関する以下の3つの問題を解きます。 (1) 99mTcの壊変定数を求め、壊変によって放出される放射線の名前を答えます。 (2) 2.6 ngの99mTcを含む注射剤の放射能を求めます。 (3) 99mTc注射剤の33時間後の放射能が、元の放射能の何%であるかを求めます。

1. 問題の内容

99mTcに関する以下の3つの問題を解きます。

(1) 99mTcの壊変定数を求め、壊変によって放出される放射線の名前を答えます。

(2) 2.6 ngの99mTcを含む注射剤の放射能を求めます。

(3) 99mTc注射剤の33時間後の放射能が、元の放射能の何%であるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、壊変定数λを計算します。半減期$T_{1/2}$と壊変定数λの間には以下の関係があります。

$λ = \frac{ln2}{T_{1/2}}$

問題文より、$T_{1/2}$は6時間、$ln2$は0.69とわかっているので、代入すると、

$λ = \frac{0.69}{6} = 0.115 hr^{-1}$

99mTcの壊変によって放出される放射線は、γ線です。

(2)

放射能Aは以下の式で表されます。

$A = λN$

ここで、λは壊変定数、Nは原子数です。

まず、2.6 ngの99mTcの原子数を計算します。99mTcの原子量は99なので、1 molあたりの質量は99 gです。アボガドロ定数は$6.0 \times 10^{23}$なので、2.6 ngに含まれる原子数は、

$N = \frac{2.6 \times 10^{-9} g}{99 g/mol} \times 6.0 \times 10^{23} atoms/mol = 1.5757 \times 10^{13}$

放射能は

$A = 0.115 hr^{-1} \times 1.5757 \times 10^{13} = 1.8121 \times 10^{12} hr^{-1}$

単位をBqに変換します。1 Bq = 1 s$^{-1}$であるため、時間を秒に変換すると、

$A = 1.8121 \times 10^{12} hr^{-1} \times \frac{1 hr}{3600 s} = 5.0336 \times 10^{8} Bq$

(3)

放射能の時間変化は以下の式で表されます。

$A(t) = A_0 e^{-λt}$

ここで、$A(t)$は時間t後の放射能、$A_0$は初期放射能、λは壊変定数です。

33時間後の放射能が元の放射能の何%であるかを求めるので、$\frac{A(33)}{A_0}$を計算します。

$\frac{A(33)}{A_0} = e^{-λt} = e^{-0.115 \times 33} = e^{-3.795} = 0.02243$

したがって、33時間後の放射能は元の放射能の約2.24%です。

3. 最終的な答え

(1) 壊変定数は0.115 hr$^{-1}$。放射線の名前はγ線。

(2) 放射能は約$5.03 \times 10^{8}$ Bq。

(3) 33時間後の放射能は元の放射能の約2.24%。