角度 $\theta = 30^\circ$ のなめらかな斜面において、高さ $h = 0.50$ m の位置に質量 $m = 3.0$ kg の物体を置く。手を離すと、物体は斜面を滑り降りる。物体が斜面下端に達したときの速さ $v$ を求めよ。

## 問題 3-11 (1)

1. 問題の内容

角度 $\theta = 30^\circ$ のなめらかな斜面において、高さ $h = 0.50$ m の位置に質量 $m = 3.0$ kg の物体を置く。手を離すと、物体は斜面を滑り降りる。物体が斜面下端に達したときの速さ $v$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は力学的エネルギー保存則を利用して解く。斜面がなめらかであるため摩擦は無視できる。

物体の初期位置での力学的エネルギーは位置エネルギーのみで、$mgh$ である。斜面下端に達したときの力学的エネルギーは運動エネルギーのみで、$\frac{1}{2}mv^2$ である。

力学的エネルギー保存則より、

$$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$

したがって、

$$v = \sqrt{2gh}$$

数値を代入すると、

$$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.50} = \sqrt{9.8} \approx 3.13 \text{ m/s}$$

3. 最終的な答え

$v \approx 3.13 \text{ m/s}$

## 問題 3-12

1. 問題の内容

なめらかな水平面上に一端を固定したばね定数 $k = 30$ N/m のばねが置かれている。このばねに質量 $m = 1.0$ kg の物体が左方から速度 $v = 0.80$ m/s で衝突する。ばねは最大どれだけ縮むか ($x$ [cm]) を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題も力学的エネルギー保存則を利用する。物体がばねに衝突する前の力学的エネルギーは運動エネルギーのみで、$\frac{1}{2}mv^2$ である。ばねが最大に縮んだとき、物体の運動エネルギーは0になり、力学的エネルギーはばねの弾性エネルギーのみで、$\frac{1}{2}kx^2$ である。

力学的エネルギー保存則より、

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$$

したがって、

$$x = \sqrt{\frac{m}{k}}v$$

数値を代入すると、

$$x = \sqrt{\frac{1.0}{30}} \times 0.80 = \sqrt{\frac{1}{30}} \times \frac{8}{10} = \frac{8}{10\sqrt{30}} = \frac{8\sqrt{30}}{300} = \frac{2\sqrt{30}}{75} \approx 0.146 \text{ m}$$

$x$ はメートル単位で求まったので、cm単位に変換するには、100をかける必要がある。

$$x = 0.146 \times 100 = 14.6 \text{ cm}$$

3. 最終的な答え

$x \approx 14.6 \text{ cm}$

## 問題 3-13

1. 問題の内容

問題 3-11 で、斜面に摩擦がある場合に、物体が斜面下端に達したときの速さ $v$ を求めよ。ただし、摩擦係数は $\mu = 0.50$ とする。

2. 解き方の手順

この問題では、摩擦によるエネルギー損失を考慮する必要がある。

まず、斜面の長さを $L$ とすると、$L = \frac{h}{\sin\theta}$ である。

摩擦力 $F = \mu N = \mu mg\cos\theta$ である。

摩擦によるエネルギー損失は $FL = \mu mg\cos\theta \frac{h}{\sin\theta} = \mu mgh \cot\theta$ である。

エネルギー保存則より、

$$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \mu mgh \cot\theta$$

したがって、

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgh - \mu mgh \cot\theta = mgh(1 - \mu \cot\theta)$$

$$v^2 = 2gh(1 - \mu \cot\theta)$$

$$v = \sqrt{2gh(1 - \mu \cot\theta)}$$

数値を代入すると、$\theta = 30^\circ$ なので、$\cot\theta = \sqrt{3}$ である。

$$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.50 (1 - 0.50 \times \sqrt{3})} = \sqrt{9.8 (1 - 0.5 \sqrt{3})} \approx \sqrt{9.8 (1 - 0.866)} = \sqrt{9.8 \times 0.134} \approx \sqrt{1.3132} \approx 1.146 \text{ m/s}$$

3. 最終的な答え

$v \approx 1.15 \text{ m/s}$