1辺の長さが15cmの正方形の鉄板の四隅から、1辺の長さが $x$ cmの正方形を切り取って、ふたのない直方体の容器を作ります。 (1) 容器の容積 $V$ を $x$ の式で表し、$x$ の変域を求めます。 (2) $V$ が最大になるときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

1辺の長さが15cmの正方形の鉄板の四隅から、1辺の長さが $x$ cmの正方形を切り取って、ふたのない直方体の容器を作ります。

(1) 容器の容積 $V$ を $x$ の式で表し、$x$ の変域を求めます。

(2) $V$ が最大になるときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

直方体の底面の1辺の長さは $15 - 2x$ cm、高さは $x$ cmとなるので、容積 $V$ は以下の式で表されます。

$V = x(15-2x)^2$

$V = x(225 - 60x + 4x^2)$

$V = 4x^3 - 60x^2 + 225x$

$x$ は長さなので $x > 0$ です。

また、$15 - 2x > 0$ である必要があるので、$2x < 15$ より $x < \frac{15}{2} = 7.5$ です。

したがって、$x$ の変域は $0 < x < \frac{15}{2}$ です。

(2)

$V = 4x^3 - 60x^2 + 225x$ を $x$ で微分します。

$\frac{dV}{dx} = 12x^2 - 120x + 225$

$\frac{dV}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x^2 - 120x + 225 = 0$

$4x^2 - 40x + 75 = 0$

$(2x - 5)(2x - 15) = 0$

$x = \frac{5}{2}, \frac{15}{2}$

$x = \frac{15}{2} = 7.5$ は変域に含まれないので、$x = \frac{5}{2}$ のとき、$V$ が最大になる可能性があります。

$0 < x < \frac{15}{2}$ における $V$ の増減を調べます。

$x < \frac{5}{2}$ のとき $\frac{dV}{dx} > 0$ であり、$x > \frac{5}{2}$ のとき $\frac{dV}{dx} < 0$ であるので、$x = \frac{5}{2}$ のとき $V$ は極大値をとります。

したがって、$V$ が最大となるのは $x = \frac{5}{2}$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) $V = 4x^3 - 60x^2 + 225x$ 、$0 < x < \frac{15}{2}$

(2) $x = \frac{5}{2}$