点O(0,0,0)を原点として、点A(x, y, z)を4倍に拡大変換した後、x軸回りに30度回転変換すると、点A(x, y, z)は点A'(4, 2, 1)に移動した。 (1) 変換行列Eを求めよ。 (2) 変換行列Eの逆行列を求めよ。 (3) 点A(x, y, z)を求めよ。

1. 問題の内容

点O(0,0,0)を原点として、点A(x, y, z)を4倍に拡大変換した後、x軸回りに30度回転変換すると、点A(x, y, z)は点A'(4, 2, 1)に移動した。

(1) 変換行列Eを求めよ。

(2) 変換行列Eの逆行列を求めよ。

(3) 点A(x, y, z)を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 変換行列Eの導出

まず、4倍の拡大変換を表す行列を$S$とする。

$S = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

次に、x軸回りの30度回転を表す行列を$R_x$とする。

$R_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(30^\circ) & -\sin(30^\circ) \\ 0 & \sin(30^\circ) & \cos(30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

変換行列$E$は、$S$による拡大変換の後に$R_x$による回転変換を行うので、$E = R_x S$となる。

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sqrt{3} & -2 \\ 0 & 2 & 2\sqrt{3} \end{pmatrix}$

(2) 変換行列Eの逆行列の導出

$E$の逆行列$E^{-1}$を求める。

$E = R_x S$ より $E^{-1} = (R_x S)^{-1} = S^{-1} R_x^{-1}$

$S^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$

$R_x^{-1}$はx軸回りの-30度回転を表す行列である。

$R_x^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(-30^\circ) & -\sin(-30^\circ) \\ 0 & \sin(-30^\circ) & \cos(-30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

よって、

$E^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8} \end{pmatrix}$

(3) 点A(x, y, z)の導出

点A(x, y, z)を変換したものが点A'(4, 2, 1)なので、以下の式が成り立つ。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = E^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{2\sqrt{3} + 1}{8} \\ \frac{-2 + \sqrt{3}}{8} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 変換行列E:

$E = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sqrt{3} & -2 \\ 0 & 2 & 2\sqrt{3} \end{pmatrix}$

(2) 変換行列Eの逆行列:

$E^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8} \end{pmatrix}$

(3) 点A(x, y, z):

$A = \left( 1, \frac{2\sqrt{3} + 1}{8}, \frac{-2 + \sqrt{3}}{8} \right)$