原点 O(0, 0, 0) を中心として、点 A(x, y, z) を5倍に拡大し、その後 x 軸回りに 30° 回転させたところ、点 A'(4, 2, 1) に移動した。 (1) この変換を表す行列 E を求めよ。 (2) 変換行列 E の逆行列 E^(-1) を求めよ。 (3) 点 A(x, y, z) の座標を求めよ。

1. 問題の内容

原点 O(0, 0, 0) を中心として、点 A(x, y, z) を5倍に拡大し、その後 x 軸回りに 30° 回転させたところ、点 A'(4, 2, 1) に移動した。

(1) この変換を表す行列 E を求めよ。

(2) 変換行列 E の逆行列 E^(-1) を求めよ。

(3) 点 A(x, y, z) の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 拡大と回転の変換行列をそれぞれ求める。拡大行列を S、x軸回りの回転行列を R とする。変換 E は S と R の積で表される。

拡大行列 S は、

$S = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

x軸回りの30°回転行列 R は、

$R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ 0 & \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

変換行列 E は、S を適用した後 R を適用するので、

$E = RS = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5\sqrt{3}}{2} & -\frac{5}{2} \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{5\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

(2) 変換行列 E の逆行列 $E^{-1}$ を求める。

$E^{-1} = (RS)^{-1} = S^{-1}R^{-1}$

$S^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

$R^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (-30^\circ) & -\sin (-30^\circ) \\ 0 & \sin (-30^\circ) & \cos (-30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

$E^{-1} = S^{-1}R^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{10} & \frac{1}{10} \\ 0 & -\frac{1}{10} & \frac{\sqrt{3}}{10} \end{pmatrix}$

(3) 点 A(x, y, z) を求める。A' = EA より、A = $E^{-1}$A'。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = E^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{10} & \frac{1}{10} \\ 0 & -\frac{1}{10} & \frac{\sqrt{3}}{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} \\ \frac{2\sqrt{3}+1}{10} \\ \frac{-2+ \sqrt{3}}{10} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 変換行列 E: $\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5\sqrt{3}}{2} & -\frac{5}{2} \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{5\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

(2) 変換行列 E の逆行列 $E^{-1}$: $\begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{10} & \frac{1}{10} \\ 0 & -\frac{1}{10} & \frac{\sqrt{3}}{10} \end{pmatrix}$

(3) 点 A(x, y, z): $(\frac{4}{5}, \frac{2\sqrt{3}+1}{10}, \frac{-2 + \sqrt{3}}{10})$