なめらかな水平面上にばね定数 $k = 30 \, \text{N/m}$ のばねが置かれている。質量 $m = 1.0 \, \text{kg}$ の物体が $v = 0.80 \, \text{m/s}$ でばねに衝突する。ばねが最大どれだけ縮むか ($x$ を求める) 。

はい、承知いたしました。問題3-12と問題3-14について、それぞれ解説します。

**問題3-12**

1. 問題の内容

なめらかな水平面上にばね定数 $k = 30 \, \text{N/m}$ のばねが置かれている。質量 $m = 1.0 \, \text{kg}$ の物体が $v = 0.80 \, \text{m/s}$ でばねに衝突する。ばねが最大どれだけ縮むか ($x$ を求める) 。

2. 解き方の手順

力学的エネルギー保存則を利用します。

物体の運動エネルギーが全てばねの弾性エネルギーに変換されると考えると、

$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k x^2$

この式を $x$ について解きます。

$x^2 = \frac{m v^2}{k}$

$x = \sqrt{\frac{m v^2}{k}} = v \sqrt{\frac{m}{k}}$

ここに与えられた値を代入します。

$x = 0.80 \sqrt{\frac{1.0}{30}} = 0.80 \times \sqrt{0.0333} \approx 0.80 \times 0.18257 \approx 0.146 \, \text{m}$

単位をcmに変換するため、100をかけます。$x \approx 14.6 \, \text{cm}$

3. 最終的な答え

ばねの最大の縮みは $14.6 \, \text{cm}$ です。

(画像にある解答の15cmに近い値が出ました。)

**問題3-14**

1. 問題の内容

問題3-12において、水平面に摩擦がある場合（摩擦係数 $\mu = 0.50$）、ばねは最大どれだけ縮むか ($x$ を求める) 。

2. 解き方の手順

エネルギー保存則を適用しますが、摩擦によるエネルギー損失を考慮する必要があります。

運動エネルギーがばねの弾性エネルギーと摩擦による仕事に変換されると考えると、

$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k x^2 + \mu m g x$

この式を $x$ について解くと、二次方程式になります。

$k x^2 + 2\mu m g x - m v^2 = 0$

$x = \frac{-2\mu m g \pm \sqrt{(2\mu m g)^2 - 4k(-m v^2)}}{2k} = \frac{-\mu m g \pm \sqrt{(\mu m g)^2 + k m v^2}}{k}$

$x$ は正の値である必要があるため、プラスの方の解を採用します。

$x = \frac{-\mu m g + \sqrt{(\mu m g)^2 + k m v^2}}{k}$

ここに与えられた値を代入します。重力加速度を $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$ とします。

$x = \frac{-0.50 \cdot 1.0 \cdot 9.8 + \sqrt{(0.50 \cdot 1.0 \cdot 9.8)^2 + 30 \cdot 1.0 \cdot (0.80)^2}}{30}$

$x = \frac{-4.9 + \sqrt{(4.9)^2 + 30 \cdot 0.64}}{30} = \frac{-4.9 + \sqrt{24.01 + 19.2}}{30} = \frac{-4.9 + \sqrt{43.21}}{30}$

$x = \frac{-4.9 + 6.57}{30} = \frac{1.67}{30} = 0.0557 \, \text{m}$

単位をcmに変換するため、100をかけます。$x = 5.57 \, \text{cm}$

3. 最終的な答え

ばねの最大の縮みは $5.57 \, \text{cm}$ です。

(画像にある解答の5.6cmに近い値が出ました。)