問題は、発散するベクトル場 $\vec{A}$ に対して、$\mathrm{div} \vec{A} = \rho$ が成り立つ理由を説明せよ、というものです。ここで、$\mathrm{div} \vec{A}$ はベクトル場 $\vec{A}$ の発散を表し、$\rho$ は密度を表します。

1. 問題の内容

問題は、発散するベクトル場 $\vec{A}$ に対して、$\mathrm{div} \vec{A} = \rho$ が成り立つ理由を説明せよ、というものです。ここで、$\mathrm{div} \vec{A}$ はベクトル場 $\vec{A}$ の発散を表し、$\rho$ は密度を表します。

2. 解き方の手順

まず、発散の定義を考えます。発散は、ある微小体積から単位時間あたりに湧き出す（または吸い込まれる）量の割合を表します。すなわち、ある点におけるベクトル場の湧き出し（または吸い込み）の密度を表していると言えます。

次に、積分形のガウスの発散定理を考えます。体積 $V$ を囲む閉曲面 $S$ があるとき、以下の関係が成り立ちます。

$\iiint_V \mathrm{div} \vec{A} \, dV = \oiint_S \vec{A} \cdot d\vec{S}$

ここで、左辺は体積 $V$ 内での $\mathrm{div} \vec{A}$ の積分であり、右辺は閉曲面 $S$ を通るベクトル場 $\vec{A}$ のフラックスです。

フラックスは単位時間あたりに曲面を通過する量を示します。

今、ベクトル場 $\vec{A}$ がある物理量（例えば質量、電荷など）の流れを表しているとします。その密度を $\rho$ とすると、体積 $V$ 内に存在するその物理量の総量は $\iiint_V \rho \, dV$ で表されます。

単位時間あたりに体積 $V$ から湧き出す物理量の割合は、閉曲面 $S$ を通るフラックスに等しいはずです。つまり、

$\oiint_S \vec{A} \cdot d\vec{S}$

は、単位時間あたりに体積 $V$ から湧き出す物理量に等しく、これは体積 $V$ 内の物理量の減少率（$-\frac{d}{dt} \iiint_V \rho \, dV$）に等しくなります。

したがって、

$\oiint_S \vec{A} \cdot d\vec{S} = -\frac{d}{dt} \iiint_V \rho \, dV$

ガウスの発散定理より、

$\iiint_V \mathrm{div} \vec{A} \, dV = -\frac{d}{dt} \iiint_V \rho \, dV = \iiint_V (-\frac{\partial \rho}{\partial t}) \, dV$

この式は任意の体積 $V$ に対して成り立つので、積分の中身が等しいはずです。したがって、

$\mathrm{div} \vec{A} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$

もし定常状態、つまり密度 $\rho$ が時間変化しない場合（$\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$）を考えるのであれば、$\mathrm{div} \vec{A} = 0$ となります。

しかし、もし湧き出し源や吸い込み源があって密度 $\rho$ が空間的に変化する場合、湧き出し（または吸い込み）源の密度を $\rho$ と定義すると、$\mathrm{div} \vec{A} = \rho$ が成り立つと考えられます。

別の考え方として、連続の式を用いることもできます。連続の式は、質量保存則を表すもので、$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div} \vec{A} = 0$ で表されます。ここで、$\vec{A} = \rho \vec{v}$ は質量流束ベクトル（$\vec{v}$ は流速ベクトル）です。もし、何らかの原因で、体積内に単位時間当たり $\rho$ だけの質量が供給されるとすると、連続の式は $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div} \vec{A} = \rho$ になります。もし $\rho$ が時間的に変化しない定常状態だとすると、$\mathrm{div} \vec{A} = \rho$ となります。

3. 最終的な答え

ベクトル場 $\vec{A}$ がある物理量の流れを表しているとき、その発散 $\mathrm{div} \vec{A}$ は、その点における物理量の湧き出し（または吸い込み）の密度を表します。したがって、湧き出し源や吸い込み源の密度を $\rho$ と定義すると、$\mathrm{div} \vec{A} = \rho$ が成り立ちます。これは、ガウスの発散定理や連続の式から導き出すことができます。