空間内に球面 $S: x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ と定点 $A(0, 1, 4)$ がある。 (1) 球面 $S$ の中心 $C$ の座標と半径を求める。 (2) 直線 $AC$ と $xy$ 平面との交点 $P$ の座標を求める。 (3) $xy$ 平面上に点 $B(4, -1, 0)$ をとるとき、直線 $AB$ と球面 $S$ の共有点の座標を求める。 (4) 直線 $AQ$ と球面 $S$ が共有点を持つように点 $Q$ が $xy$ 平面上を動くとき、点 $Q$ の動く範囲を求めて、それを $xy$ 平面上に図示する。

1. 問題の内容

空間内に球面 $S: x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ と定点 $A(0, 1, 4)$ がある。

(1) 球面 $S$ の中心 $C$ の座標と半径を求める。

(2) 直線 $AC$ と $xy$ 平面との交点 $P$ の座標を求める。

(3) $xy$ 平面上に点 $B(4, -1, 0)$ をとるとき、直線 $AB$ と球面 $S$ の共有点の座標を求める。

(4) 直線 $AQ$ と球面 $S$ が共有点を持つように点 $Q$ が $xy$ 平面上を動くとき、点 $Q$ の動く範囲を求めて、それを $xy$ 平面上に図示する。

2. 解き方の手順

(1) 球面 $S$ の方程式を平方完成する。

$x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$

$x^2 + y^2 + (z - 2)^2 - 4 = 0$

$x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 2^2$

よって、中心 $C$ の座標は $(0, 0, 2)$、半径は $2$。

(2) 直線 $AC$ の方程式を求める。

$A(0, 1, 4)$, $C(0, 0, 2)$ なので、$\vec{AC} = (0, -1, -2)$

直線 $AC$ は点 $A$ を通り、方向ベクトル $\vec{AC}$ を持つので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$

$x = 0$

$y = 1 - t$

$z = 4 - 2t$

$xy$ 平面との交点では $z = 0$ なので、$4 - 2t = 0$ より $t = 2$

よって、$x = 0$, $y = 1 - 2 = -1$, $z = 0$

交点 $P$ の座標は $(0, -1, 0)$

(3) 直線 $AB$ の方程式を求める。

$A(0, 1, 4)$, $B(4, -1, 0)$ なので、$\vec{AB} = (4, -2, -4)$

直線 $AB$ は点 $A$ を通り、方向ベクトル $\vec{AB}$ を持つので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}$

$x = 4t$

$y = 1 - 2t$

$z = 4 - 4t$

これを球面 $S$ の方程式に代入する。

$(4t)^2 + (1 - 2t)^2 + (4 - 4t)^2 - 4(4 - 4t) = 0$

$16t^2 + 1 - 4t + 4t^2 + 16 - 32t + 16t^2 - 16 + 16t = 0$

$36t^2 - 20t + 1 = 0$

$t = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 144}}{72} = \frac{20 \pm \sqrt{256}}{72} = \frac{20 \pm 16}{72}$

$t = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$ または $t = \frac{4}{72} = \frac{1}{18}$

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$x = 2, y = 0, z = 2$ なので、点 $(2, 0, 2)$

$t = \frac{1}{18}$ のとき、$x = \frac{2}{9}, y = \frac{8}{9}, z = \frac{32}{9}$ なので、点 $(\frac{2}{9}, \frac{8}{9}, \frac{32}{9})$

(4) 点 $Q(x, y, 0)$ とおく。直線 $AQ$ の方程式を求める。

$\vec{AQ} = (x, y-1, -4)$

$\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} x \\ y-1 \\ -4 \end{pmatrix}$

$X = tx$

$Y = 1 + t(y-1)$

$Z = 4 - 4t$

これを球面 $S$ の方程式に代入する。

$(tx)^2 + (1 + t(y-1))^2 + (4 - 4t)^2 - 4(4 - 4t) = 0$

$t^2x^2 + 1 + 2t(y-1) + t^2(y-1)^2 + 16 - 32t + 16t^2 - 16 + 16t = 0$

$t^2(x^2 + (y-1)^2 + 16) + t(2(y-1) - 16) + 1 = 0$

$t^2(x^2 + (y-1)^2 + 16) + t(2y - 18) + 1 = 0$

この $t$ に関する2次方程式が実数解を持つ条件を求める。判別式 $D \ge 0$

$D = (2y - 18)^2 - 4(x^2 + (y-1)^2 + 16) \ge 0$

$(y - 9)^2 - (x^2 + (y-1)^2 + 16) \ge 0$

$y^2 - 18y + 81 - x^2 - y^2 + 2y - 1 - 16 \ge 0$

$-x^2 - 16y + 64 \ge 0$

$x^2 + 16y - 64 \le 0$

$x^2 + 16(y - 4) \le 0$

$x^2 \le -16(y - 4)$

3. 最終的な答え

(1) 球面 $S$ の中心 $C$ の座標は $(0, 0, 2)$、半径は $2$。

(2) 直線 $AC$ と $xy$ 平面との交点 $P$ の座標は $(0, -1, 0)$

(3) 直線 $AB$ と球面 $S$ の共有点の座標は $(2, 0, 2)$ と $(\frac{2}{9}, \frac{8}{9}, \frac{32}{9})$

(4) 点 $Q$ の動く範囲は $x^2 \le -16(y - 4)$ であり、$xy$ 平面上では放物線 $y = 4 - \frac{x^2}{16}$ の下側。