与えられた2つの平行な直線を含む平面の方程式を求める問題です。 直線の式は $\frac{x}{2} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{2}$ $x+1 = \frac{y}{2} = \frac{z+2}{2}$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた2つの平行な直線を含む平面の方程式を求める問題です。

直線の式は

$\frac{x}{2} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{2}$

$x+1 = \frac{y}{2} = \frac{z+2}{2}$

で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線の方向ベクトルを求めます。

1つ目の直線は、$\frac{x}{2} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{2}$なので、方向ベクトルは $\vec{v_1} = (2, 2, 2)$。

2つ目の直線は、$x+1 = \frac{y}{2} = \frac{z+2}{2}$なので、方向ベクトルは $\vec{v_2} = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$となり、これは $\vec{v_1}=(2, 1, 1)$と同じ方向ベクトルを持つとみなせます。

平面を特定するには、平面上の2つの点と、平面の法線ベクトルが必要です。

1つ目の直線上の点として $(0, -2, -3)$、2つ目の直線上の点として $(-1, 0, -2)$をとります。

これら2点を通るベクトルは $\vec{w} = (-1-0, 0-(-2), -2-(-3)) = (-1, 2, 1)$です。

法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\vec{v_1}$ と $\vec{w}$ の外積で与えられます。

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{w} = (2, 1, 1) \times (-1, 2, 1) = (1-2, -(2-(-1)), 4-(-1)) = (-1, -3, 5)$

したがって、求める平面の方程式は、

$-1(x-0) -3(y-(-2)) + 5(z-(-3)) = 0$

$-x -3(y+2) + 5(z+3) = 0$

$-x -3y -6 + 5z + 15 = 0$

$-x -3y + 5z + 9 = 0$

$x + 3y -5z -9 = 0$

3. 最終的な答え

$x + 3y - 5z - 9 = 0$