AさんとBさんが、1から7までの数字が書かれた7枚のカードを使ってゲームをします。AさんとBさんは交互にカードを2回ずつ取り、最後に3枚のカードを残します。Aさんは残る3枚のカードの合計が3の倍数にならないように、Bさんは3の倍数になるようにカードを取ります。 (1) 3回目にAさんがカードを取り終えたとき、残ったカードが1, 3, 4, 7の4枚だった場合、次にBさんはどのカードを取れば良いか答えます。 (2) 2回目にBさんがカードを取り終えたとき、残ったカードが1, 3, 5, 6, 7の5枚だった場合、次にAさんがどのカードを取れば、その後Bさんがどのカードを取っても、残る3枚の合計が3の倍数にならないか答えます。また、その理由を3で割った余りに着目して説明します。

1. 問題の内容

AさんとBさんが、1から7までの数字が書かれた7枚のカードを使ってゲームをします。AさんとBさんは交互にカードを2回ずつ取り、最後に3枚のカードを残します。Aさんは残る3枚のカードの合計が3の倍数にならないように、Bさんは3の倍数になるようにカードを取ります。

(1) 3回目にAさんがカードを取り終えたとき、残ったカードが1, 3, 4, 7の4枚だった場合、次にBさんはどのカードを取れば良いか答えます。

(2) 2回目にBさんがカードを取り終えたとき、残ったカードが1, 3, 5, 6, 7の5枚だった場合、次にAさんがどのカードを取れば、その後Bさんがどのカードを取っても、残る3枚の合計が3の倍数にならないか答えます。また、その理由を3で割った余りに着目して説明します。

2. 解き方の手順

(1)

残ったカードは1, 3, 4, 7。Bさんが取るカードを仮定して、残る3枚の合計が3の倍数になるか確認します。

- Bさんが1を取った場合、残るカードは3, 4, 7。合計は $3+4+7 = 14$。3の倍数ではありません。

- Bさんが3を取った場合、残るカードは1, 4, 7。合計は $1+4+7 = 12$。3の倍数です。

- Bさんが4を取った場合、残るカードは1, 3, 7。合計は $1+3+7 = 11$。3の倍数ではありません。

- Bさんが7を取った場合、残るカードは1, 3, 4。合計は $1+3+4 = 8$。3の倍数ではありません。

したがって、Bさんは3を取れば良い。

(2)

残ったカードは1, 3, 5, 6, 7。Aさんが取るカードを仮定して、その後Bさんがどのカードを取っても、残る3枚の合計が3の倍数にならないか確認します。

- Aさんが1を取った場合、残るカードは3, 5, 6, 7。

- Bさんが3を取った場合、残るカードは5, 6, 7。合計は $5+6+7 = 18$。3の倍数。

- Bさんが5を取った場合、残るカードは3, 6, 7。合計は $3+6+7 = 16$。3の倍数ではない。

- Bさんが6を取った場合、残るカードは3, 5, 7。合計は $3+5+7 = 15$。3の倍数。

- Bさんが7を取った場合、残るカードは3, 5, 6。合計は $3+5+6 = 14$。3の倍数ではない。

Aさんが1を取った場合、Bさんが3または6を取ると合計が3の倍数になる。

- Aさんが3を取った場合、残るカードは1, 5, 6, 7。

- Bさんが1を取った場合、残るカードは5, 6, 7。合計は $5+6+7 = 18$。3の倍数。

- Bさんが5を取った場合、残るカードは1, 6, 7。合計は $1+6+7 = 14$。3の倍数ではない。

- Bさんが6を取った場合、残るカードは1, 5, 7。合計は $1+5+7 = 13$。3の倍数ではない。

- Bさんが7を取った場合、残るカードは1, 5, 6。合計は $1+5+6 = 12$。3の倍数。

Aさんが3を取った場合、Bさんが1または7を取ると合計が3の倍数になる。

- Aさんが5を取った場合、残るカードは1, 3, 6, 7。

- Bさんが1を取った場合、残るカードは3, 6, 7。合計は $3+6+7 = 16$。3の倍数ではない。

- Bさんが3を取った場合、残るカードは1, 6, 7。合計は $1+6+7 = 14$。3の倍数ではない。

- Bさんが6を取った場合、残るカードは1, 3, 7。合計は $1+3+7 = 11$。3の倍数ではない。

- Bさんが7を取った場合、残るカードは1, 3, 6。合計は $1+3+6 = 10$。3の倍数ではない。

Aさんが5を取った場合、Bさんがどのカードを取っても合計が3の倍数にならない。

- Aさんが6を取った場合、残るカードは1, 3, 5, 7。

- Bさんが1を取った場合、残るカードは3, 5, 7。合計は $3+5+7 = 15$。3の倍数。

- Bさんが3を取った場合、残るカードは1, 5, 7。合計は $1+5+7 = 13$。3の倍数ではない。

- Bさんが5を取った場合、残るカードは1, 3, 7。合計は $1+3+7 = 11$。3の倍数ではない。

- Bさんが7を取った場合、残るカードは1, 3, 5。合計は $1+3+5 = 9$。3の倍数。

Aさんが6を取った場合、Bさんが1または7を取ると合計が3の倍数になる。

- Aさんが7を取った場合、残るカードは1, 3, 5, 6。

- Bさんが1を取った場合、残るカードは3, 5, 6。合計は $3+5+6 = 14$。3の倍数ではない。

- Bさんが3を取った場合、残るカードは1, 5, 6。合計は $1+5+6 = 12$。3の倍数。

- Bさんが5を取った場合、残るカードは1, 3, 6。合計は $1+3+6 = 10$。3の倍数ではない。

- Bさんが6を取った場合、残るカードは1, 3, 5。合計は $1+3+5 = 9$。3の倍数。

Aさんが7を取った場合、Bさんが3または6を取ると合計が3の倍数になる。

したがって、Aさんは5を取れば良い。

3で割った余りは、1は1、3は0、5は2、6は0、7は1。

Aさんが5を取った場合、残るカードは1, 3, 6, 7。3で割った余りは1, 0, 0, 1。

この中から3枚を選び、その合計が3の倍数になるかを考える。

考えられる組み合わせは以下の4通り

- 1, 3, 6 : 3で割った余りの合計は $1 + 0 + 0 = 1$

- 1, 3, 7 : 3で割った余りの合計は $1 + 0 + 1 = 2$

- 1, 6, 7 : 3で割った余りの合計は $1 + 0 + 1 = 2$

- 3, 6, 7 : 3で割った余りの合計は $0 + 0 + 1 = 1$

いずれも3で割った余りの合計が0ではないので、合計が3の倍数になることはない。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 5。残るカードの3で割った余りの合計が3の倍数にならないため。