問題は、与えられた硬貨を使って支払うことができる金額が何通りあるかを求めるものです。各場合について、10円、50円、100円硬貨の枚数が指定されています。硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額の組み合わせの数を求めます。ただし、どの硬貨も使わない場合は除きます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた硬貨を使って支払うことができる金額が何通りあるかを求めるものです。各場合について、10円、50円、100円硬貨の枚数が指定されています。硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額の組み合わせの数を求めます。ただし、どの硬貨も使わない場合は除きます。

2. 解き方の手順

(1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚の場合：

* 10円硬貨の使い方は0枚から4枚の5通り。

* 50円硬貨の使い方は0枚または1枚の2通り。

* 100円硬貨の使い方は0枚から3枚の4通り。

したがって、合計の組み合わせは$5 \times 2 \times 4 = 40$通り。

ただし、すべての硬貨を0枚使う場合（0円）は除外するため、40 - 1 = 39通り。

ここで、金額が重複する可能性を考慮します。10円硬貨4枚 = 40円、50円硬貨1枚 = 50円なので、10円硬貨を5枚で50円を作ることはできません。したがって、重複はありません。

(2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚の場合：

* 10円硬貨の使い方は0枚から2枚の3通り。

* 50円硬貨の使い方は0枚から3枚の4通り。

* 100円硬貨の使い方は0枚から3枚の4通り。

したがって、合計の組み合わせは$3 \times 4 \times 4 = 48$通り。

ただし、すべての硬貨を0枚使う場合（0円）は除外するため、48 - 1 = 47通り。

ここで、金額が重複する可能性を考慮します。10円硬貨2枚 = 20円、50円硬貨3枚 = 150円、100円硬貨3枚 = 300円。

10円硬貨5枚で50円を作れないため、50円硬貨を10円硬貨に両替える必要はありません。

(3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚の場合：

* 10円硬貨の使い方は0枚から7枚の8通り。

* 50円硬貨の使い方は0枚または1枚の2通り。

* 100円硬貨の使い方は0枚から3枚の4通り。

したがって、合計の組み合わせは$8 \times 2 \times 4 = 64$通り。

ただし、すべての硬貨を0枚使う場合（0円）は除外するため、64 - 1 = 63通り。

ここで、金額が重複する可能性を考慮します。10円硬貨7枚 = 70円、50円硬貨1枚 = 50円、100円硬貨3枚 = 300円。10円硬貨を5枚で50円を作ることはできません。したがって、重複はありません。

3. 最終的な答え

(1) 39通り

(2) 47通り

(3) 63通り