画像にある数学の問題を解きます。 9. 次の数を根号を使わずに表す問題。 (1) $\sqrt{49}$ (2) $-\sqrt{\frac{9}{16}}$ (3) $\sqrt{(-6)^2}$ (4) $-\sqrt{(-10)^2}$ (5) $(-\sqrt{12})^2$ (6) $(\frac{5}{\sqrt{11}})^2$ 10. 次の問いに答える問題。 (1) $\sqrt{15-a}$ が整数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。 (2) $\sqrt{48x}$ ができるだけ小さい整数となるような自然数 $x$ の値を求める。 (3) $\sqrt{\frac{360}{a}}$ ができるだけ大きい自然数となるような自然数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。

9. 次の数を根号を使わずに表す問題。

(1) $\sqrt{49}$

(2) $-\sqrt{\frac{9}{16}}$

(3) $\sqrt{(-6)^2}$

(4) $-\sqrt{(-10)^2}$

(5) $(-\sqrt{12})^2$

(6) $(\frac{5}{\sqrt{11}})^2$

1

0. 次の問いに答える問題。

(1) $\sqrt{15-a}$ が整数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。

(2) $\sqrt{48x}$ ができるだけ小さい整数となるような自然数 $x$ の値を求める。

(3) $\sqrt{\frac{360}{a}}$ ができるだけ大きい自然数となるような自然数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

3. (1) $\sqrt{49}$ は $7$ の平方根なので、$\sqrt{49} = 7$。

(2) $\sqrt{\frac{9}{16}}$ は $\frac{3}{4}$ の平方根なので、 $-\sqrt{\frac{9}{16}} = -\frac{3}{4}$。

(3) $\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36}$ は $6$ の平方根なので、$\sqrt{(-6)^2} = 6$。

(4) $-\sqrt{(-10)^2} = -\sqrt{100}$ は $-10$ の平方根なので、$-\sqrt{(-10)^2} = -10$。

(5) $(-\sqrt{12})^2 = (-\sqrt{12})(-\sqrt{12}) = 12$。

(6) $(\frac{5}{\sqrt{11}})^2 = \frac{5^2}{(\sqrt{11})^2} = \frac{25}{11}$

4. (1) $\sqrt{15-a}$ が整数となるためには、$15-a$ が0以上の平方数である必要があります。$a$は自然数なので、$15-a$ がとりうる値は、0, 1, 4, 9です。

$15-a = 0$ のとき、$a = 15$

$15-a = 1$ のとき、$a = 14$

$15-a = 4$ のとき、$a = 11$

$15-a = 9$ のとき、$a = 6$

したがって、$a$ の値は 6, 11, 14, 15 です。

(2) $\sqrt{48x}$ ができるだけ小さい整数となるためには、$48x$ が平方数である必要があり、$x$ ができるだけ小さい自然数である必要があります。$48 = 2^4 \times 3$ なので、$48x$ を平方数にするためには、$x$ が $3$ を含む必要があります。したがって、$x = 3$ とすると、$48x = 48 \times 3 = 144 = 12^2$ となり、$\sqrt{48x} = 12$ となります。

(3) $\sqrt{\frac{360}{a}}$ ができるだけ大きい整数となるためには、$\frac{360}{a}$ が平方数である必要があり、$a$ ができるだけ小さい自然数である必要があります。$\frac{360}{a}$ が整数になるためには、$a$ は 360 の約数である必要があります。$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ なので、$\frac{360}{a}$ が平方数となるように $a$ を選びます。$a = 10$ とすると、$\frac{360}{a} = \frac{360}{10} = 36 = 6^2$ となり、$\sqrt{\frac{360}{a}} = 6$ となります。$a$ がこれよりも小さければ $\frac{360}{a}$ が整数にならないか、平方数になりません。

3. 最終的な答え

9. (1) 7

(2) $-\frac{3}{4}$

(3) 6

(4) -10

(5) 12

(6) $\frac{25}{11}$

1

0. (1) 6, 11, 14, 15

(2) 3

(3) 10