6つの数字 0, 1, 1, 2, 2, 3 をすべて並べて6桁の整数を作る。 (1) 全部でいくつの整数ができるか。 (2) 偶数はいくつの整数ができるか。

1. 問題の内容

6つの数字 0, 1, 1, 2, 2, 3 をすべて並べて6桁の整数を作る。

(1) 全部でいくつの整数ができるか。

(2) 偶数はいくつの整数ができるか。

2. 解き方の手順

(1) 全部でいくつの整数ができるか。

まず、6つの数字を並べる場合の総数を考える。ただし、1が2つ、2が2つあるので、同じものを含む順列の考え方を使う。

6つの数字を並べる順列の総数は $\frac{6!}{2!2!} = \frac{720}{4} = 180$ 通り。

しかし、この中には先頭が0になっているものも含まれている。

先頭が0であるものを除く必要がある。

先頭が0であるとき、残りの5つの数字(1, 1, 2, 2, 3)を並べる順列の総数は $\frac{5!}{2!2!} = \frac{120}{4} = 30$ 通り。

したがって、求める整数の個数は $180 - 30 = 150$ 個。

(2) 偶数はいくつの整数ができるか。

偶数になるのは、一の位が0, 2の場合である。

(i) 一の位が0の場合

残りの5つの数字(1, 1, 2, 2, 3)を並べる順列の総数は $\frac{5!}{2!2!} = \frac{120}{4} = 30$ 通り。

(ii) 一の位が2の場合

残りの5つの数字(0, 1, 1, 2, 3)を並べる順列の総数を考える。

まず、5つの数字を並べる順列の総数は $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ 通り。

この中には先頭が0になっているものも含まれている。

先頭が0であるとき、残りの4つの数字(1, 1, 2, 3)を並べる順列の総数は $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ 通り。

したがって、一の位が2である偶数の個数は $60 - 12 = 48$ 個。

よって、偶数の個数は $30 + 48 = 78$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 150個

(2) 78個