問題5: 正四面体の一つの面を下にして置き、1つの辺を軸として3回転がす。2回目以降は直前にあった場所を通らないようにするとき、以下の問いに答える。 (1) 転がし方の総数を求めよ。 (2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数を求めよ。 問題6: 梨4個, 柿2個, 桃2個から6個だけ取り出す方法は何通りあるか。ただし、取り出さない果物があっても良いものとする。

1. 問題の内容

問題5: 正四面体の一つの面を下にして置き、1つの辺を軸として3回転がす。2回目以降は直前にあった場所を通らないようにするとき、以下の問いに答える。

(1) 転がし方の総数を求めよ。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数を求めよ。

問題6: 梨4個, 柿2個, 桃2個から6個だけ取り出す方法は何通りあるか。ただし、取り出さない果物があっても良いものとする。

2. 解き方の手順

問題5 (1):

最初の回転では、底面以外の3つの辺を軸に回転できるので、3通りの選択肢がある。

2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにする必要があるため、回転させる辺は一つに限定される。つまり、回転させる辺は1通り。

したがって、転がし方の総数は $3 \times 1 \times 1 = 3$ 通り。

問題5 (2):

最初の回転で、正四面体は3つの異なる位置のいずれかを取ることができる。

2回目の回転では、最初の位置から変わっているため、それまで底面だった面以外を底面にすることになるので、位置は一意に定まる。

3回目の回転でも同様に、位置は一意に定まる。

したがって、3回転がした後の正四面体の位置の総数は、最初の回転によってのみ決まるので、3通りである。

位置が異なるのは、最初の回転でどの辺を軸にしたかによって決まる。

問題6:

梨、柿、桃の個数をそれぞれ $x, y, z$ とする。

$x + y + z = 6$

ただし、$0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le 2$

まず、$x+y+z=6$ かつ $x,y,z \ge 0$ を満たす整数の組$(x,y,z)$の総数を考える。これは重複組み合わせの問題であり、$_3H_6 = \binom{3+6-1}{6} = \binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$通りである。

しかし、$x \le 4$, $y \le 2$, $z \le 2$という制約がある。

$x \ge 5$のとき、$x' = x-5$ とおくと、$x' + y + z = 1$。このとき、解の個数は$\binom{3}{2} = 3$通り。

$y \ge 3$のとき、$y' = y-3$ とおくと、$x + y' + z = 3$。このとき、解の個数は$\binom{5}{2} = 10$通り。

$z \ge 3$のとき、$z' = z-3$ とおくと、$x + y + z' = 3$。このとき、解の個数は$\binom{5}{2} = 10$通り。

したがって、解の個数は$28 - 3 - 10 - 10 = 5$通り。

内訳は

(4,2,0), (4,1,1), (4,0,2)

(3,2,1), (3,1,2)

(2,2,2)

(2,2,2)

(2,1,3)はだめ

(2,3,1)はだめ

(5,1,0)はだめ

(0,3,3)はだめ

上記のパターンはすべて条件を満たしているので、答えは8通りである。

(4,2,0)

(4,1,1)

(4,0,2)

(3,2,1)

(3,1,2)

(2,2,2)

(3,3,0) x

(5,0,1) x

(1,2,3) x

3. 最終的な答え

問題5 (1): 3通り

問題5 (2): 3通り

問題6: 7通り