問題は、根号を使わずに数を表す、根号を含む数を $a\sqrt{b}$ の形にする、根号を含む計算を行う、数の大小を比較する、そして $x = \sqrt{3} + \sqrt{5}$, $y = \sqrt{3} - \sqrt{5}$ のときの $x^2 - y^2$ の値を求める、というものです。

1. 問題の内容

問題は、根号を使わずに数を表す、根号を含む数を $a\sqrt{b}$ の形にする、根号を含む計算を行う、数の大小を比較する、そして $x = \sqrt{3} + \sqrt{5}$, $y = \sqrt{3} - \sqrt{5}$ のときの $x^2 - y^2$ の値を求める、というものです。

2. 解き方の手順

1. 根号を使わずに数を表す問題:

(1) $(- \sqrt{5})^2 = (-1)^2 \times (\sqrt{5})^2 = 1 \times 5 = 5$

(2) $\sqrt{3^2} = 3$

(3) $\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$

2. $a\sqrt{b}$ の形にする問題:

(1) $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = \sqrt{4} \times \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$

(3) $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

3. 根号を含む計算の問題:

(1) $\sqrt{6} \times \sqrt{18} = \sqrt{6 \times 18} = \sqrt{6 \times 6 \times 3} = 6\sqrt{3}$

(2) $2\sqrt{3} \times 3\sqrt{21} = 2 \times 3 \times \sqrt{3} \times \sqrt{21} = 6\sqrt{3 \times 21} = 6\sqrt{3 \times 3 \times 7} = 6 \times 3 \sqrt{7} = 18\sqrt{7}$

(3) $\sqrt{40} \div \sqrt{6} = \sqrt{\frac{40}{6}} = \sqrt{\frac{20}{3}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{5} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{3}$

(4) $8\sqrt{21} \times \sqrt{14} = 8\sqrt{21 \times 14} = 8\sqrt{3 \times 7 \times 2 \times 7} = 8 \times 7 \sqrt{3 \times 2} = 56\sqrt{6}$

(5) $4\sqrt{2} - \sqrt{2} - 5\sqrt{2} = (4 - 1 - 5)\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$

(6) $5\sqrt{5} - \sqrt{125} - 2\sqrt{45} = 5\sqrt{5} - \sqrt{25 \times 5} - 2\sqrt{9 \times 5} = 5\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - 2 \times 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = -6\sqrt{5}$

(7) $\frac{3}{\sqrt{2}} - \sqrt{8} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

(8) $\sqrt{15} \times \sqrt{6} - 4\sqrt{5} \div \sqrt{2} = \sqrt{15 \times 6} - \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3 \times 5 \times 2 \times 3} - \frac{4\sqrt{5}\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{10} - 2\sqrt{10} = \sqrt{10}$

(9) $(\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - 5) = (\sqrt{2})^2 - 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 20 = 2 - \sqrt{2} - 20 = -18 - \sqrt{2}$

(10) $(\sqrt{20} - \sqrt{8})^2 = (\sqrt{20})^2 - 2\sqrt{20}\sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 = 20 - 2\sqrt{160} + 8 = 28 - 2\sqrt{16 \times 10} = 28 - 2 \times 4 \sqrt{10} = 28 - 8\sqrt{10}$

4. 数の大小比較の問題:

(1) $- \sqrt{7} > - \sqrt{10} > -3$

(2) $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, $\frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1.732$

したがって、 $\frac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} < \frac{3}{\sqrt{3}}$

5. $x^2 - y^2$ の値を求める問題:

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

$x + y = (\sqrt{3} + \sqrt{5}) + (\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{3}$

$x - y = (\sqrt{3} + \sqrt{5}) - (\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$

$x^2 - y^2 = (2\sqrt{3})(2\sqrt{5}) = 4\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

1. (1) 5, (2) 3, (3) 2

2. (1) $4\sqrt{2}$, (2) $2\sqrt{15}$, (3) $7\sqrt{2}$

3. (1) $6\sqrt{3}$, (2) $18\sqrt{7}$, (3) $\frac{2\sqrt{15}}{3}$, (4) $56\sqrt{6}$, (5) $-2\sqrt{2}$, (6) $-6\sqrt{5}$, (7) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, (8) $\sqrt{10}$, (9) $-18 - \sqrt{2}$, (10) $28 - 8\sqrt{10}$

4. (1) $- \sqrt{7} > - \sqrt{10} > -3$, (2) $\frac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} < \frac{3}{\sqrt{3}}$

5. $4\sqrt{15}$