8人の生徒を以下の(1)～(4)のようにグループ分けする方法の数を求める問題です。 (1) 4人、3人、1人の3組に分ける。 (2) 4人、4人の2つの組A、Bに分ける。 (3) 4人、4人の2組に分ける。 (4) 4人、2人、2人の3組に分ける。

1. 問題の内容

8人の生徒を以下の(1)～(4)のようにグループ分けする方法の数を求める問題です。

(1) 4人、3人、1人の3組に分ける。

(2) 4人、4人の2つの組A、Bに分ける。

(3) 4人、4人の2組に分ける。

(4) 4人、2人、2人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4人、3人、1人の3組に分ける方法

8人から4人を選び、残りの4人から3人を選び、残りの1人から1人を選ぶ組み合わせの数を計算します。

計算式は以下のようになります。

$_8C_4 \times _4C_3 \times _1C_1 = \frac{8!}{4!3!1!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 1} \times 1 = 70 \times 4 \times 1 = 280$

(2) 4人、4人の2つの組A、Bに分ける方法

8人からAグループの4人を選び、残りの4人をBグループとします。

計算式は以下のようになります。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(3) 4人、4人の2組に分ける方法

8人から4人のグループを作り、残りの4人で別のグループを作ります。2つのグループに区別がないので、(2)の計算結果を2で割ります。

$\frac{_8C_4}{2} = \frac{70}{2} = 35$

(4) 4人、2人、2人の3組に分ける方法

8人から4人を選び、残りの4人から2人を選び、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせの数を計算します。 2人の組に区別がないので、2!で割ります。

$_8C_4 \times _4C_2 \times _2C_2 / 2! = \frac{8!}{4!2!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 / 2 = 70 \times 6 / 2 = 210$

3. 最終的な答え

(1) 280通り

(2) 70通り

(3) 35通り

(4) 210通り