数列 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, ... について、第200項目の数を求めます。

1. 問題の内容

数列 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, ... について、第200項目の数を求めます。

2. 解き方の手順

数列は、1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, ... となっています。

この数列は、

1

2, 1

3, 2, 1

4, 3, 2, 1

5, 4, 3, 2, 1

...

のように、1からnまで数を増やしていき、その後1まで減る数列が繰り返されているわけではありません。

この数列は、正の整数kに対して、kから1まで順に数を並べた数列が順に並んでいるものと考えられます。

つまり、

1

2, 1

3, 2, 1

4, 3, 2, 1

5, 4, 3, 2, 1

という数列が繋がってできていると解釈できます。

それぞれの数列の項数は、1, 2, 3, 4, 5, ... となっています。

したがって、n番目の数列の項数はnです。

第200項目がどの数列に含まれているかを調べます。

それぞれの数列の項数を足していくと、

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

...

数列の項数の和が200を超えるまで計算します。

項数の和は、初項1、末項n、項数nの等差数列の和なので、$n(n+1)/2$で計算できます。

$n(n+1)/2 > 200$となる最小のnを求めます。

$n(n+1) > 400$

$n=19$のとき、$19 \times 20 = 380 < 400$

$n=20$のとき、$20 \times 21 = 420 > 400$

したがって、$n=20$です。

つまり、20番目の数列の中に、第200項目が含まれています。

19番目の数列までの項数の合計は、$19 \times 20 / 2 = 190$です。

したがって、20番目の数列の10番目の数が、第200項目となります。

20番目の数列は、20, 19, 18, ..., 1 です。

したがって、20番目の数列の10番目の数は、20 - (10 - 1) = 20 - 9 = 11 です。

3. 最終的な答え

11