(1) 300の正の約数の個数を求める。 (2) 10円玉1枚、50円玉2枚、500円玉1枚を使って払える金額は何通りあるか求める。ただし、0円は含まないものとする。

1. 問題の内容

(1) 300の正の約数の個数を求める。

(2) 10円玉1枚、50円玉2枚、500円玉1枚を使って払える金額は何通りあるか求める。ただし、0円は含まないものとする。

2. 解き方の手順

(1) 300の正の約数の個数を求める。

まず、300を素因数分解する。

$300 = 2^2 \times 3^1 \times 5^2$

約数の個数は、各素因数の指数に1を足して掛け合わせたものになる。

$(2+1)(1+1)(2+1) = 3 \times 2 \times 3 = 18$

したがって、300の正の約数は18個である。

(2) 10円玉1枚、50円玉2枚、500円玉1枚を使って払える金額の組み合わせを求める。

10円玉の使い方は、0枚または1枚の2通り。

50円玉の使い方は、0枚、1枚、2枚の3通り。

500円玉の使い方は、0枚または1枚の2通り。

これらの組み合わせの総数は $2 \times 3 \times 2 = 12$ 通り。

ただし、0円の場合（すべて0枚）を除くので、$12 - 1 = 11$ 通り。

金額の重複がないかを確認する。

10円玉、50円玉、500円玉をそれぞれ $x, y, z$ 枚使うとすると、払える金額は $10x + 50y + 500z$ 円。

$x \in \{0, 1\}$, $y \in \{0, 1, 2\}$, $z \in \{0, 1\}$

例えば、

$10 \times 1 + 50 \times 0 + 500 \times 0 = 10$

$10 \times 0 + 50 \times 1 + 500 \times 0 = 50$

$10 \times 0 + 50 \times 2 + 500 \times 0 = 100$

$10 \times 0 + 50 \times 0 + 500 \times 1 = 500$

$10 \times 1 + 50 \times 1 + 500 \times 0 = 60$

$10 \times 1 + 50 \times 2 + 500 \times 0 = 110$

$10 \times 1 + 50 \times 0 + 500 \times 1 = 510$

$10 \times 1 + 50 \times 1 + 500 \times 1 = 560$

$10 \times 1 + 50 \times 2 + 500 \times 1 = 610$

$10 \times 0 + 50 \times 1 + 500 \times 1 = 550$

$10 \times 0 + 50 \times 2 + 500 \times 1 = 600$

異なる金額は11通りある。

3. 最終的な答え

(1) 18個

(2) 11通り