関数 $y = -\sqrt{-x+6}$ の定義域が $a < x \le 6$ であるとき、値域が $-2 < y \le 0$ となるような定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -\sqrt{-x+6}$ の定義域が $a < x \le 6$ であるとき、値域が $-2 < y \le 0$ となるような定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の定義域と値域の関係から、$x$ の最大値と最小値に対応する $y$ の値を考えます。

$x$ の最大値は $6$ であり、$x=6$ を関数に代入すると

$y = -\sqrt{-6+6} = -\sqrt{0} = 0$

これは与えられた値域の最大値 $y \le 0$ と一致します。

次に、$x$ の最小値が $a$ の時の $y$ の値に着目します。

$x > a$ より、$x=a$ のときの $y$ の値は $-2$ に近いことが予想できます。

$y = -\sqrt{-x+6}$ に $y=-2$ を代入して、$x$ の値を求めます。

$-2 = -\sqrt{-x+6}$

両辺に $-1$ をかけると

$2 = \sqrt{-x+6}$

両辺を2乗すると

$4 = -x+6$

$x = 6-4 = 2$

よって、$x=2$ のとき $y=-2$ となります。

問題文より、定義域は $a < x \le 6$ であり、値域は $-2 < y \le 0$ となっています。

$y=-2$ となる $x$ の値が $2$ であることから、$a < x$ であり、$x=2$ は定義域に含まれないため、$a=2$ となります。

つまり、$2 < x \le 6$ ということになります。

3. 最終的な答え

$a = 2$