与えられた行列 $A$ と $B$ の固有値と固有ベクトルを求めます。 $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$ $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ について

まず、固有値を求めるために、特性方程式 $det(A - \lambda I) = 0$ を解きます。ここで、$I$ は単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 & -3 \\ 2 & 2-\lambda & -6 \\ 2 & 2-\lambda & -6 \end{pmatrix}$

特性方程式は次のようになります。

$det(A - \lambda I) = (-1-\lambda)((2-\lambda)^2 - (-6)(2-\lambda)) - 2(2(2-\lambda) - (-6)(2)) -3(2(2)-2(2-\lambda))=0$

$(-1-\lambda)((2-\lambda)(2-\lambda+6)) - 2(4-2\lambda+12) - 3(4-4+2\lambda)=0$

$(-1-\lambda)(2-\lambda)(8-\lambda) - 2(16-2\lambda) -6\lambda=0$

$(-1-\lambda)(16-2\lambda-8\lambda+\lambda^2) - 32+4\lambda-6\lambda=0$

$(-1-\lambda)(16-10\lambda+\lambda^2)-32-2\lambda=0$

$-16+10\lambda-\lambda^2-16\lambda+10\lambda^2-\lambda^3 -32 -2\lambda =0$

$-\lambda^3 + 9\lambda^2 - 8\lambda - 48=0$

$\lambda^3 - 9\lambda^2 + 8\lambda + 48=0$

$(\lambda-4)(\lambda^2 - 5\lambda -12)=0$

$\lambda = 4$, $\lambda=\frac{5 \pm \sqrt{25+48}}{2} = \frac{5\pm\sqrt{73}}{2}$

より、固有値は $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = \frac{5+\sqrt{73}}{2}$, $\lambda_3 = \frac{5-\sqrt{73}}{2}$.

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

固有値 $\lambda_1 = 4$ について:

$(A-4I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} -5 & 2 & -3 \\ 2 & -2 & -6 \\ 2 & -2 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-5x+2y-3z=0$

$2x-2y-6z=0$

$x-y-3z=0$

$x = y+3z$

$-5(y+3z)+2y-3z=0$

$-5y-15z+2y-3z=0$

$-3y-18z=0$

$y=-6z$

$x=-6z+3z=-3z$

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} z$

例えば、$z=1$として、$v_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $B$ について

$B$ は列ベクトルなので、固有値と固有ベクトルを求めることはできません。行列である必要があります。

3. 最終的な答え

行列 $A$ の固有値は $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = \frac{5+\sqrt{73}}{2}$, $\lambda_3 = \frac{5-\sqrt{73}}{2}$.

固有値 $\lambda_1 = 4$ に対する固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix}$.

行列 $B$ は列ベクトルなので、固有値と固有ベクトルは存在しません。