問題は2つあります。 (1) 数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_n = a_1 + n + \text{オカ}$ (ただし $n=1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ が等差数列または等比数列であるか、その一般項を求める問題です。具体的には、$a_3 = a_1 + \text{オカ}$ かつ $a_1 + a_2 + a_3 = 24$ という条件が与えられています。 (2) $S_n = 2^{n+1} - C$ (ただし $n \geq 1$) で定義された数列 $\{S_n\}$ について、$n \geq 2$ に対して $a_n = S_n - S_{n-1}$ とおくとき、$a_n$ および $n=1$ のときも $a_n$ の式が成り立つような $C$ の値を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある数列の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_n = a_1 + n + \text{オカ}$ (ただし $n=1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ が等差数列または等比数列であるか、その一般項を求める問題です。具体的には、$a_3 = a_1 + \text{オカ}$ かつ $a_1 + a_2 + a_3 = 24$ という条件が与えられています。

(2) $S_n = 2^{n+1} - C$ (ただし $n \geq 1$) で定義された数列 $\{S_n\}$ について、$n \geq 2$ に対して $a_n = S_n - S_{n-1}$ とおくとき、$a_n$ および $n=1$ のときも $a_n$ の式が成り立つような $C$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ について

まず、$a_2 = a_1 + \text{エ}$ かつ $a_3 = a_1 + \text{エ} + \text{オカ}$ であることがわかります。

問題文にある式 $a_3 = a_1 + \text{オカ}$ より、$a_3 - a_1 = \text{オカ}$です。

また、$a_1 + a_2 + a_3 = 24$ に$a_2$と$a_3$を代入すると、$a_1 + (a_1 + \text{エ}) + (a_1 + \text{オカ}) = 24$ より $3a_1 + \text{エ} + \text{オカ} = 24$ となります。

**等差数列の場合:**

公差を $d$ とすると、$a_2 = a_1 + d$、$a_3 = a_1 + 2d$ となります。問題文の条件 $a_3 = a_1 + \text{オカ}$ より、$2d = \text{オカ}$がわかります。$a_1 + a_2 + a_3 = 3a_1 + 3d = 24$となるので、$a_1 + d = 8$が得られます。

**等比数列の場合:**

公比を $r$ とすると、$a_2 = a_1 r$、$a_3 = a_1 r^2$ となります。問題文の条件 $a_3 = a_1 + \text{オカ}$ より、$a_1 r^2 = a_1 + \text{オカ}$です。$a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 = a_1(1 + r + r^2) = 24$ となります。

しかし問題文には数列が等差数列か等比数列であると書いていないので、一般項を求めるのは難しいです。

(2) 数列 $\{S_n\}$ について

$S_n = 2^{n+1} - C$ とします。$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ なので、$a_n = (2^{n+1} - C) - (2^n - C) = 2^{n+1} - 2^n = 2^n(2 - 1) = 2^n$ となります。

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 2^{1+1} - C = 4 - C$ となります。

$n=1$ のときも $a_n = 2^n$ が成り立つためには、$a_1 = 2^1 = 2$ でなければなりません。したがって、$4 - C = 2$ より、$C = 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 数列 $\{a_n\}$ について:

* ア: 等差数列または等比数列

* エ: $d$ (等差数列の場合) または $a_1(r-1)$ (等比数列の場合)

* オカ: $2d$ (等差数列の場合) または $a_1(r^2-1)$ (等比数列の場合)

* キ: $a_1 + (n-1)d$ (等差数列の場合) または $a_1 r^{n-1}$ (等比数列の場合)

(2) 数列 $\{S_n\}$ について:

* $a_n = 2^n$

* シ: $C=2$