$\log_2 5 \cdot \log_5 8$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_2 5 \cdot \log_5 8$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

底の変換公式を用いて、それぞれの対数を同じ底の対数で表します。

底の変換公式は、$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ です。

$\log_2 5$ と $\log_5 8$ の両方を、例えば底を10とする対数で表します。

$\log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}$

$\log_5 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 5}$

したがって、

$\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} \cdot \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 5}$

ここで、$\log_{10} 5$ が約分されるので、

$\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 2}$

底の変換公式を逆に用いると、

$\frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 2} = \log_2 8$

$8 = 2^3$ であるから、

$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

3. 最終的な答え

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