$\log_{27} 81$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_{27} 81$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を適用します。底の変換公式は、任意の正の数 $a$, $b$, $c$ ($a \neq 1$, $c \neq 1$) に対して、

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

が成り立つというものです。

今回は、底を3に変換することを考えます。なぜなら、27と81はどちらも3の累乗で表せるからです。

$27 = 3^3$であり、$81 = 3^4$です。

したがって、

$$\log_{27} 81 = \frac{\log_3 81}{\log_3 27}$$

と変換できます。

次に、$\log_3 81$と$\log_3 27$を計算します。

$81 = 3^4$なので、$\log_3 81 = 4$です。

$27 = 3^3$なので、$\log_3 27 = 3$です。

したがって、

$$\log_{27} 81 = \frac{4}{3}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$