$\log_9 5 \cdot \log_5 27$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_9 5 \cdot \log_5 27$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を適用します。底の変換公式は、

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

です。

$\log_9 5$ に対して、底を5に変換します。

$\log_9 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 9} = \frac{1}{\log_5 9}$

次に、$\log_5 27$ を考えます。

$\log_5 27 = \log_5 (3^3) = 3 \log_5 3$

また、$\log_5 9 = \log_5 (3^2) = 2 \log_5 3$

したがって、

$\log_9 5 \cdot \log_5 27 = \frac{1}{\log_5 9} \cdot \log_5 27 = \frac{1}{2 \log_5 3} \cdot 3 \log_5 3 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$